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Td9 processus corrige Processus aléatoires ENS Paris - Thomas Budzinski Bureau V thomas budzinski ens fr TD Cha? nes de Markov Corrigé Lundi Novembre Exercice Vrai ou faux Soit Sn une marche aléatoire simple sur Z Lesquels des processus suivants sont des

Processus aléatoires ENS Paris - Thomas Budzinski Bureau V thomas budzinski ens fr TD Cha? nes de Markov Corrigé Lundi Novembre Exercice Vrai ou faux Soit Sn une marche aléatoire simple sur Z Lesquels des processus suivants sont des cha? nes de Markov sur Z Pour ceux qui le sont donner la matrice de transition A Sn n ? B Sn n n ? C Sn n n ? D Sn n n ? E Sn ?? n n ? F Sn n ? G Sn ?? n n ? H S n n ? Solution de l ? exercice Oui La matrice de transition est Q x y si x ?? y et sinon Oui La matrice de transition est Q x y si y x ou y x et sinon Non Si C était une cha? ne de Markov de matrice de transition Q on aurait d ? une part P C C Q soit Q P S ?? et d ? autre part P C C C Q mais C ? ?? donc P C donc Q et Q d ? o? la contradiction Oui La matrice de transition est la suivante pour tous n ?? N et k ?? Z de même parité que n tel que k ? n on a Q n k n k Q n k n k ?? et Q n k y pour tous les autres y Cette dé ?nition a bien un sens car chaque entier peut s ? écrire d ? au plus une manière comme n k avec k ? n Notons que cet argument ne marche plus pour l ? exemple ? précédent car par exemple peut s ? écrire mais aussi ?? Oui La matrice de transition est la suivante si x est pair alors Q x y si y x ?? ou y x ?? et sinon Si x est impair alors Q x y si y x ou y x et sinon Oui La matrice de transition est la suivante on a Q et Q y pour tout y et pour x ? on a Q x y si y ?? x et sinon Non Si G était une cha? ne de Markov de matrice de transition Q on aurait d ? une part Q P G P S et d ? autre part Q P G G G G G G Ccar P G il faudrait S alors que P G G G G G ? P S S S S Oui La matrice de transition est F F F F F F Q x y F F F F si x y si x ?? y sinon Exercice Cha? ne de Markov et indépendance Soient S un ensemble dénombrable et G G un ensemble mesurable Soient aussi Zn n ? une suite de variables i i d à valeurs dans G G et S ? G ? S une application mesurable On dé ?nit une suite de variables Xn n ?