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Bac gabon maths 1996 series ce

BEREN GER B B C H O mJ EXERCICE points Soit n un entier naturel supérieur ou égal à Une urne contient des boules numérotées de à n On y trouve boule portant le numéro boules portant le numéro boules portant le numéro boules portant le numéro etc et en ?n n'l boules portant le numéro n Partie - On appelle N le nombre de boules contenues dans l'urne montrer que N n - et que c'est un multiple de On désigne par le nombre de boules portant un numéro impair et par P le nombre de boules portant un muméro pair n - a Montrer que - b Exprimer alors en fonction de N et montrer que N P Partie - On tire simultanément et au hasard boules de l'urne et on désigne par X le nombre de boules tirées portant un numéro pail' Donner en fonction de N la loi de probabilité de la variable aléatoire X Calculer son espérance mathématique et véri ?er qu'elle ne dépend pas de N Partie - On suppose maintenant que Quel est le plus grand numéro porté par les boules On tire une boule au hasard Calculer la probabilité pour que cette boule porte un numéro supérieur ou égal à EXERCICE II points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal u v d'unité graphique un centimètre On désigne par ?' application qui à tout point M d'a ?xe z associe le point M' d'a ?xe z' Z - z a Déterminer les points du plan ayant pour image les point Ad'a ?xe - b Ecrire les a ?xes des points obtenus sous forme irigonométrique On note x y les coordonnées du point M et x' y' celles de son image M' par f Exprimer x' et y' en fonction dex et dey a Etablir que l'ensemble H des points M dont les images M'appartiennent à l'axe des ordonnées est une hyperbole dont on précisera les sommets les axes les foyers et les asymptotes b Construire H avec soin a Etablir que l'image de l'axe des ordonnées par f est la parabole r d'équation f - x b Construire r avec soin PROBLEME points L E PDG TC ' a Véri ?er que la fonction h dé ?nie sur IR par h x ' x e-Xest une solution particulière de E b Montrer que qJ est une solution de E si et seulement si g qJ - h est une solution de Eo ' c Déterminer toutes les solutions de E d Déterminer la solution fo de E satisfaisant aux conditions initiales fo O et fo' O O Partie B i On considère la fonction f dé ?nie par f x x e'X et désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique un centimètre Etudier les variations de f et tracer C avec soin En remarquant que f est solution de l'équation di ?érentielle E déterminer une primitive F de f sur IR J On