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Chapitre 2 mef appliquee aux poutres

Chapitre MEF appliquée aux poutres Méthode directe pour les structures à éléments discrets A Introduction La méthode directe est une approche pour des systèmes discrets basée sur la méthode des rigidités Elle est de loin le procédé le plus simple pour introduire les concepts de base de MEF et présente les avantages suivants Application de concept physique équilibre des forces conservation d ? énergie conservation de masse ? directement à des éléments discrets Facile dans son interprétation physique Ne demande pas de concept ou de manipulation mathématique sophistiquée Son application est limitée à un certain nombre de problèmes pour lesquelles les lois d ? équilibre et de conservation peuvent être facilement exprimées en termes des quantités physiques que l ? on désire obtenir déplacements En général les systèmes à treillis et les portiques sont constitués d ? éléments discrets d ? euxmêmes selon le sens physique et sont de parfaits exemples pour illustrer la méthode B Elément ?ni barre Treillis plan de barres Le système à treillis est formé d ? un ensemble membrures appelé barres qui sont sollicités par des e ?orts agissant le long de leur axe moyen Le schéma statique de la barre impose la présence de rotules aux deux extrémités n ?uds Ce sont les premiers éléments présentés par la MEF suivi des éléments poutres assemblés en ossature Figure a Structure à treillis représentant une ferme de toiture b Modèle d ? élément barre CC Elément ressort linéaire L ? élément barre possède des caractéristiques similaires à celles d ? un ressort élastique Figure Analogie barre- ressort On considère que chaque élément de structure se comporte comme un ressort élastique c'està-dire que la relation charge déplacement est linéaire i k jF u Figure Déformation d ? un ressort élastique On appelle k la raideur rigidité qui correspond à la pente du graphe charge ??déplacement Force F Pente k Pente k Déplacement u de l ? extrémité Figure Relation force déplacement d ? un ressort élastique Connaissant la valeur de la rigidité et de la charge appliquée on a les relations F k u ?u k F D Formulations en éléments ?nis D Matrice de rigidité élémentaire CFigure Ressort équivalent d ? une barre à deux rotules Convention de signes Cette même convention est adoptée pour les charges et les déplacements - f u f u Figure Convention de signes Equilibre de la barre nous donne Noued f ??k u ??u Noued f k u ??u Ecriture matricielle pour un élément f f k ??k ??k k u u signi ?e que Avec Vecteur résultant des forces nodales Matrice de rigidité élémentaire Vecteur résultant des déplacements nodaux Remarque Une colonne de Ke représente le vecteur charge qui doit être appliqué aux n ?uds de l ? élément pour obtenir un état de déformation o? le degré de liberté nodal est égal à alors que les autres sont nuls Exemple u et u C f f k ??k ??k k k ?? Donc le produit représente la ème