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Chapitres 1 et 2 programmation mathematique

Cours Programmation Mathématique Cycle Préparatoire Abdelmalek Aboussoror Année Universitaire - Université Cadi Ayyad Ecole Nationale des Sciences Appliquées Marrakech C Avant Propos Pour des raisons pédagogiques les démonstrations des résultats Théorèmes Propositions présentés dans ce polycopié ne sont données qu ? en Amphi Certaines d ? entre elles sont faites sous forme d ? exercices en travaux dirigés Une bonne compréhension de ces démontrations facilite la résolution des exercices posés en travaux dirigés A noter aussi que la plupart des exercices proposés en cours sont corrigés en travaux dirigés Les prérequis demandés pour ce cours sont essentiellement ceux de topologie espaces normés calcul di ?érentiel algèbre linéaire et bilinéaire c Abdelmalek Aboussoror CContents Sous Espaces A ?nes Ensembles convexes Dé ?nitions et Propriétés Propriétés Topologiques des Ensembles Convexes L ? Enveloppe Convexe Séparation Point Extrémal et Face Cône Normal C CONTENTS CChapter Sous Espaces A ?nes Ce chapitre est consacré aux sous espaces a ?nes de Rn Dans ce chapitre on s ? intéresse aux dé ?nitions et propriétés qui nous seront utiles pour la suite Notamment celles qui seront utilisées pour dé ?nir et établir quelques propriétés topologiques des ensembles convexes en chapitre Dé ?nition Soient x x xp ?? Rn p ?? N ? On dit que x est une combinaison a ?ne de x xp s ? il existe ? ?p ?? R avec p i ?i tels que p x ?ixi i Soient u uq ?? Rn q ?? N ? On dit que u uq sont a ?nement indépendents si pour tous ?i ?? R i q véri ?ant q i ?i et q ?iui i alors ?i ?? i ?? q Dans le cas contraire on dit qu ? ils sont a ?nement dépendents Proposition Soient x xk ?? Rn k ? Alors les propriétés suivantes sont équivalentes x xk sont a ?nement indépendents x ?? x xk ?? x sont linéairement indépendents Preuve Voir TD C CHAPTER SOUS ESPACES AFFINES Remarque La propriété de la Proposition peut être écrite sous la forme plus générale suivante Pour tout j ?? k les vecteurs xi ?? xj i k i j sont linéairement indépendents Dé ?nition Soit A un sous ensemble non vide de Rn L ? ensemble A est dit un sous espace a ?ne de Rn si pour tous x y ?? A et ?? R on a x ?? y ?? A i e A contient la droite passant par x et y Exemple i Rn et tout singleton a a ?? Rn sont des sous espaces a ?nes de Rn ii Tout sous espace vectoriel de Rn est un sous espace a ?ne iii Soit C x ?? Rn Ax b o? A ?? Mm n R et b ?? Rm Alors on véri ?e facilement que C est un sous espace a ?ne Exercice Soit A ? Rn A ? Montrer que si A est un sous espace a ?ne contenant alors A est un sous espace vectoriel de Rn