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Corrige math asie s 16 juin 2015 fh

A P M E P Baccalauréat S Asie juin Corrigé Exercice Commun à tous les candidats points Partie A Un concurrent participe à un concours de tir à l ? arc sur une cible circulaire À chaque tir la probabilité qu ? il atteigne la cible est égale à Le concurrent tire quatre èches On considère que les tirs sont indépendants Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de èches atteignant la cible Pour un tir la probabilité du succès est p On répète fois de façon indépendante le tir donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p Pour une loi binomiale B n p on a P X k n pk ?? p n ??k On cherche ici k P X P x P X ? ? ? ? ?? La concurrent tire n èches de façon indépendante donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p Pour atteindre en moyenne fois la cible il faut que l ? espérance mathématique de la variable X soit égale à Une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B n p a pour espérance mathématique E X np On doit donc chercher n pour que n ? ? ?? n ? ?? n Il faut donc que le concurrent prévoie èches pour atteindre en moyenne la cible fois Partie B On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale d ? espérance et d ? écart-type Pour que la èche soit hors de la bande grisée il faut que X ?? ou X On cherche donc P X ?? ?? X qui est égale à ?? P ?? X X suit la loi normale de moyenne et d ? écart type ? et on sait que pour toute loi normale P ?? ? X ? ?? donc P ?? X ?? On peut donc dire que la probabilité que la èche soit hors de la bande grisée est approximativement de ?? On peut également trouver ce résultat en utilisant la calculatrice On cherche un nombre positif t tel que P ??t X t Cela correspond au schéma suivant en tenant compte des propriétés de symétrie de la fonction de densité de la loi normale ??t t CBaccalauréat S A P M E P P ??t X t ? ?? P X t ?? P X ??t ? ?? P X t ?? P X t ? ?? P X t ?? ?? P X t ? ?? P X t ?? ? ?? P X t ? ?? P X t À la calculatrice on trouve t ?? Les deux droites verticales délimitant la bande grise ont pour équations x ?? et x alors la probabilité d ? atteindre cette bande grisée est approximativement de Partie C La durée de vie exprimée en heures du panneau électrique af ?chant le score des concurrents est une variable aléatoire T qui suit la