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analyse mathematique 2020 2021

SEANCE N Chapitre Etude des Fonctions Partie I Objectif Dé ?nir les fonctions Contenu Dé ?nition des fonctions Soit A et B deux ensembles non vides On appelle fonction de A vers B toute relation de A vers B qui à chaque élément de A associe ou éléments de B Exemple A B f ax x bx x cx x dx x f est une fonction CExemple A ax bx cx dx B g x x x x x g n ? est pas une fonction Soit x un élément de A On notera par f x l ? élément de B associé à x Si y f x on dira que y est l ? image de x par f et que x est l ? antécédent de y par f Notation f A ?B x a f x Désigne une fonction de A dans B Applications injectives surjectives et bijectives Soit A et B deux ensembles non vides et f une application de A dans B C- Applications injectives Une application f est dite injective lorsque tout élément de l ? ensemble d ? arrivée B est l ? image d ? au plus un élément de l ? ensemble de départ A Autrement dit deux éléments distincts de l ? ensemble A ont des images distinctes dans l ? ensemble B Il en résulte de cette propriété qu ? une application injective est inversible et possède toujours sont inverse Exemple A B f ax x bx x cx x x Exercice d ? application Soit l ? application f R ?? ? R x a x ?? x Démontrer que f est injective Résolution f est injective si et seulement ?? x et x ?? R ?? on a f x f x ?? x x f x f x ?? x x Cx ?? x ?? x x x ?? x x x ?? x x x ??x ?? x x ??x x ?? x x L ? application f est donc injective Applications surjectives Une application f d ? un ensemble de départ A dans un ensemble d ? arrivée B est dite surjective lorsque dans cette application chaque élément de l ? ensemble B est l ? image d ? au moins un élément de l ? ensemble A Exemple A B f ax x bx x cx x dx Exercice d ? application Soit l ? application f R ?? ? R x a x x ?? Démontrer que f est surjective CRésolution f est surjective si ?? y R ?? x ?? R tel que ? y x x ?? ?? y x ?? x xy ?? y x x y ?? y x y ??y ?? y ?? Applications bijectives Une application f d ? un ensemble de départ A dans un ensemble d ? arrivée B est dite bijective lorsque dans cette application chaque élément de B est l ? image d ? exactement un élément de A Une application