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chap1 lesnombresreels Chapitre Les nombres réels Contenu Introduction Les réels Conséquences de l ? axiome de la borne supérieure Induction mathématique Introduction Il y a plus d ? une façon d ? introduire l ? ensemble R des nombres réels Dans ce cours n

Chapitre Les nombres réels Contenu Introduction Les réels Conséquences de l ? axiome de la borne supérieure Induction mathématique Introduction Il y a plus d ? une façon d ? introduire l ? ensemble R des nombres réels Dans ce cours nous allons privilégier la méthode axiomatique on postule l ? existence d ? un tel ensemble avec un nombre précis de propriétés axiomes portant sur les aspects algébrique d ? ordre et topologique analyse limites Ceci est résumé succintement dans la dé ? nition suivante Dé ? nition Le corps R des nombres réels est un corps commutatif ordonné satisfaisant à l ? axiome de la borne supérieure En d ? autres termes R véri ? e les trois conditions suivantes R est un corps commutatif Il existe une opération binaire interne l ? addition R R R x y x y qui en fait un groupe commutatif et une opération binaire interne la multiplication notée ou R R R x y x y qui fait de R R n f g un groupe commutatif R est un corps ordonné Il existe une relation d ? ordre total sur R notée telle que a c R a b a c b c b c R a b ac bc Toute partie non vide et majorée de R admet une plus petite borne supérieure A R A A majorée sup A existe Nous allons expliciter plus en détail ces notions dans la section suivante C Les réels Le corps des réels L ? ensemble R c ? est-à-dire R muni des opérations addition et multiplication véri ? e les propriétés suivantes qui en font un corps commutatif R Commutativité de l ? addition x y R x y y x R Associativité de l ? addition x y z R x y z x y z R Existence d ? un élément neutre pour l ? addition Il existe un élément R tel que x R x x R Existence d ? un élément inverse pour l ? addition l ? opposé x R y R x y L ? élément y est noté x et on écrit x x x x Plus généralement x y R l ? opération x y est notée x y Avec ces propriétés on dit que R est un groupe additif commutatif ou abélien R Commutativité de la multiplication on omet le point x y xy R Associativité de la multiplication x y R xy yx x y z R xy z x yz R Existence d ? un élément neutre pour la multiplication Il existe un élément R R n f g tel que x R x x R Existence d ? un élément inverse pour la multiplication l ? inverse multiplicatif x R y R xy L ? élément y est noté x ou x et on écrit x xx x Plus généralement x R et y R l ? opération xy est aussi notée x x y y diviser x par