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propositions valeur de verite variables quantificateurs

Université Paris Diderot UFR de mathématiques Licences de Physique Chimie STEP L ?? Interactions Mathématiques- Physique Feuille d ? exercices no Éléments de langage mathématique Égalités équations Propositions valeur de vérité variables quanti ?cateurs Les propositions mathématiques sont des phrases qui énoncent des faits concernant les objets mathématiques On retiendra surtout qu ? une proposition est susceptible d ? être vraie ou fausse c ? est-à-dire d ? avoir une valeur de vérité est pair proposition dont on sait qu ? elle est vraie est pair proposition dont on sait qu ? elle est fausse Est-ce que est pair pas une proposition Il est bien connu que est pair pas une proposition n est pair n est une variable de type entier naturel proposition mais on ne peut pas savoir si elle est vraie ou fausse car on n ? a pas assez d ? informations sur l ? individu n n est pair ou n est impair on n ? a pas plus d ? information sur l ? individu n mais cela ne nous empêche pas de savoir que cette proposition est vraie Une particularité du langage mathématique est la présence de variables Une variable est une lettre éventuellement a ?ectée d ? indice s C ? est un nom d ? objet qui ne désigne pas un objet particulier mais a vocation à désigner des objets pris dans un certain domaine on dira alors que la variable est astreinte à ce domaine ou que la variable désigne un élément de tel domaine ou on parlera du type de la variable Considérons par exemple la proposition n est pair dans laquelle la variable n est astreinte à l ? ensemble des entiers naturels c ? est-à-dire que n désigne un entier naturel Elle énonce un fait concernant un individu nommé n nous pouvons dire qu ? elle ??parle de n ? Dans cette proposition la variable n est libre on dit aussi parlante Nous voyons bien que la variable n joue un rôle très di ?érent dans la proposition Pour tout n ?? N n ? n ici il n ? est pas utile de préciser que la variable n est astreinte à l ? ensemble des entiers naturels puisque c ? est écrit avec la quanti ?cation Cette proposition n ? énonce pas un fait concernant un individu nommé n mais une propriété vraie de l ? ensemble des entiers naturels que nous pourrions d ? ailleurs reformuler sans variable ??le carré d ? un entier naturel est toujours supérieur à cet entier ? Dans cette proposition la variable n est liée on dit aussi muette On peut remplaçer la variable n par une autre lettre sans changer le sens de la proposition les propositions ??Pour tout n ?? N n ? n ? et ??Pour tout m ?? N m ? m ? disent exactement la même chose ce qui n ? est pas le cas des proposition ??n est pair ? et ??m est pair