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Analyse 2012 Cours d ? analyse semestre d ? automne Hugo Duminil-Copin septembre CTable des matières Éléments de théorie des ensembles Éléments de Logique La notion d ? ensemble Logique élémentaire et principes de démonstration Relations d ? ordre Applica

Cours d ? analyse semestre d ? automne Hugo Duminil-Copin septembre CTable des matières Éléments de théorie des ensembles Éléments de Logique La notion d ? ensemble Logique élémentaire et principes de démonstration Relations d ? ordre Applications Dé ?nition Compositions des applications Injection-Surjection-Bijection Applications croissantes décroissantes et monotones Entiers naturels et ensembles ?nis Entiers naturels Ensembles ?nis et notion de cardinal Analyse combinatoire sur les ensembles ?nis Ensembles in ?nis Les nombres rationels et réels L ? ensemble des nombres rationels L ? ensemble R Dé ?nitions Principe d ? Archimède Valeur absolue sur R Densité d ? un ensemble dans R Résolution des équations du second degré sur R Les nombres complexes Équations polynomiales d ? une variable complexe Conjuguaison et module d ? un nombre complexe Applications exponentielle et trigonométriques Argument d ? un nombre complexe et représentation polaire Suites numériques Suites convergentes dans K Dé ?nition et premières propriétés Opérations sur les limites Suites à valeurs réelles et relation d ? ordre Inégalité et limites Suites monotones à valeurs dans R Valeurs d ? adhérence d ? une suite CTABLE DES MATIÈRES Suites de Cauchy Suites à récurrence linéaire Suites tendant vers l ? in ?ni et formes indéterminées Fonctions Continues Continuité des fonctions de la variable réelle Dé ?nition de la continuité Maximum et minimum d ? une fonction continue Opérations sur les fonctions continues Théorème des valeurs intermédaires Inverse d ? une fonction continue Prolongement de fonctions continues Notions reliées à la notion de continuité Continuité uniforme Continuité à droite et continuité à gauche pour votre culture Fonctions à valeur dans Rn et Cn Fonctions usuelles Dérivation des fonctions sur R Dérivée d ? une fonction en un point Dé ?nition Accroissements et dérivées Dérivées Successives Applications Applications aux fonctions convexes pour votre culture Applications à l ? étude des graphes de fonctions Applications aux inégalités Intégration de fonctions à valeurs réelles L ? intégrale sur un segment Dé ?nition de l ? intégrale des fonctions en escalier Intégrales des fonctions réglées Valeur approchée de l ? intégrale d ? une fonction continue Primitive des fonctions continues Développements limités Fonctions et suites de référence Les signes O o et ?? Le cas des suites Cas des fonctions Règle de L ? Hôpital Développements limités CPréface Ces notes de cours présentent le contenu du cours d ? analyse premier semestre donné à l ? université de Genève Nous remercions les étudiants et les assistants qui ont contribué par leur relecture attentive à la création de ces notes Nous tenons également à remercier tout particulièrement Nicolas Curien et Ruth Ben Zion Ces notes complètent les notes manuscriptes présentées en cours En aucun cas elles ne les remplacent Il est crucial de venir en cours et d ? écrire le cours présenté en classe Le processus consistant à écrire le cours représente la première étape de révision Le contenu exigible à l ? examen est le matériel présenté en classe en particulier de nombreuses parties du polycopié