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Analyse num2rique Exercices - Capes - première épreuve corrigé Avertissement Ceci n ? est pas une correction in extenso du problème de capes Il s ? agit plutôt d ? une lecture personnelle des questions avec des indications des idées de preuve des mises en

Exercices - Capes - première épreuve corrigé Avertissement Ceci n ? est pas une correction in extenso du problème de capes Il s ? agit plutôt d ? une lecture personnelle des questions avec des indications des idées de preuve des mises en garde d ? erreurs à éviter Ce n ? est surtout pas une correction modèle à reproduire Pour signaler toute erreur merci d ? écrire à devgeolabo gmail com Il s ? agit de deux problèmes qui de façon très étonnante ont a peu près les même thématiques déterminants interpolation estimation de l ? erreur Les parties A B D du premier problème A et B du second sont à travailler Premier problème Partie A I Deux choses à faire véri ?er que Lk véri ?e les propriétés demandées c ? est trivial et démontrer que c ? est l ? unique polynôme de Rn ?? X qui véri ?e ces propriétés On va utiliser le résultat suivant si Q est un polynôme de Rn ?? X admettant au moins n racines alors Q est le polynôme nul Soit donc P un polynôme de Rn ?? X solution du problème et posons Q Lk ?? P Alors Q s ? annule en tous les ai ? i k ? n et Q s ? annule aussi en ak puisque Q ak Lk ak ?? P ak Q admet donc n racines II II Il su ?t de remarquer que F Lk ek II On peut démontrer la surjectivité en utilisant des résultats abstraits d ? algèbre linéaire Par exemple on sait que Im F contient une famille génératrice donc puisque c ? est un espace vectoriel il contient l ? espace vectoriel engendré par cette famille génératrice donc Rn tout entier On peut aussi faire un raisonnement simple à la main qui redémontre en quelque sorte cette propriété Prenons x ?? Rn Alors x s ? écrit x x e xnen On pose alors P x L xnLn et on véri ?e facilement que F P x La deuxième partie de la question est une question de cours d ? algèbre linéaire On sait que F est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension attention à ne pas oublier cette dernière partie de la phrase Puisque F est surjective on en déduit que F est bijective pour des applications linéaires entre espaces de même dimension ?nie on a équivalence entre être injectif être surjectif et être bijectif III Il s ? agit juste d ? une reformulation de la bijectivité de F III Notre deuxième rédaction de la question II a déjà répondu à cette question avec x f a On a donc P f a L f an Ln Partie B I Ouvre ton cours I C ? est une question très classique qui demande une rédaction précise On va prouver le résultat par récurrence sur n ? Pour cela notons P n la propriété suivante Pour tout fonction g qui est n-fois