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Anum td4 pdf MÉTHODES ITÉRATIVES CHAPITRE SYSTÈMES LINÉAIRES Exercices méthodes itératives Exercice Convergence de suites Corrigé en page Etudier la convergence de la suite x k k ??IN ? IRn dé ?nie par x donné x k Bx k c dans les cas suivants a B c b B c

MÉTHODES ITÉRATIVES CHAPITRE SYSTÈMES LINÉAIRES Exercices méthodes itératives Exercice Convergence de suites Corrigé en page Etudier la convergence de la suite x k k ??IN ? IRn dé ?nie par x donné x k Bx k c dans les cas suivants a B c b B c Exercice Méthode de Richardson Suggestions en page corrigé en page Soit A ?? Mn IR une matrice symétrique dé ?nie positive b ?? IRn et ?? IR Pour trouver la solution de Ax b on considère la méthode itérative suivante ?? Initialisation x ?? IRn ?? Iterations x k x k b ?? Ax k Pour quelles valeurs de en fonction des valeurs propres de A la méthode est-elle convergente Calculer en fonction des valeurs propres de A t q ? Id ?? A min ? Id ?? A ?? IR Commentaire sur la méthode de Richardson On peut la voir comme une méthode de gradient à pas ?xe pour la au minimisation de la fonction f dé ?nie de chapitre Optimisation On verra en e ?et IRN dans que gr? ce IR qu par x ? f x caractère symétrique déA ?xni expo ??sitbif x de qui sera étudiée A la fonction f admet un unique minimum caractérisé par l ? annulation du gradient de f en ce point Or ??f x Ax ?? b et annuler le gradient consiste à résoudre le système linéaire Ax b Exercice Non convergence de la méthode de Jacobi Suggestions en page Corrigé en page Soit a ?? IR et F EB F F aa F ED F F A a a aa Montrer que A est symétrique dé ?nie positive si et seulement si ?? a et que la méthode de Jacobi converge si et seulement si ?? a Exercice Jacobi et Gauss ??Seidel cas des matrices tridiagonales Corrigé en page Soit A ?? Mn IR une matrice carrée d ? ordre n inversible et tridiagonale on note ai j le coef ?cient de la ligne i et la ligne j de la matrice A On décompose en A D ?? E ?? F o? D représente la diagonale de la matrice A ??E la partie triangulaire inférieure stricte et ??F la partie triangulaire supérieure stricte On note BJ et BGS les matrices d ? itération des méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel pour la résolution d ? un système linéaire de matrice A Calculer les matrices BJ et BGS pour la matrice particulère A ?? ?? et calculer leurs rayons spectraux Montrer que les méthodes convergent Citer les résultats du cours qui s ? appliquent pour cette matrice Montrer que ? est valeur propre de BJ si et seulement s ? il existe un vecteur complexe x x xn ?? Cn x tel que ??ap p ?? xp ?? ?? ap p xp ?ap pxp p n avec x xn Soit y y yn ?? Cn dé ?ni par yp ?pxp o? ? est une valeur propre non nulle de BJ et x x xn