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Chapitre i integrale de lebesgue et espaces fonctionnels usuels pdf

INTEGRALE DE LEBESGUE-ESPACES FONCTIONNELS Introduction L ? intégrale de Riemann avait montré ses limites d ? abord sur le champ des fonctions intégrables assez restreint et surtout sur les permutations des limites avec les intégrales Henri Léon Lebesgue - dé ? nit dans sa thèse intitulée ? Intégrale longueur avec une nouvelle méthode de sommation ? appelée depuis intégrale de Lebesgue et qui est considérée come l ? une des réussites de l ? analyse mathématique moderne Dans la théorie de Lebesgue les théorèmes de permutation de limite avec intégrale ont un énnocé très simple et surtout très puissants En outre par sa nature même l ? intégrale de Lebesgue est adapté aux fonctions d ? une seule variable que de plusieurs Le revers est que sa présentation réclame de longs préliminaires théoriques C ? est toujours un problème dans l ? enseignement actuel d ? essayer d ? introduire le plutot possible l ? intégrale de Lebesgue de façon à mettre ce formidable outil à la disposition des Sciences de l ? Ingénieur L ? intégrale de Lebesgue a considérablement simpli ? é et ampli ? é l ? étude des séries trigonométriques et plus généralement toute l ? analyse de Fourier et le champ des Probabilités I Intégrale de Lebesgue L ? intégralede Lebesgue est fondée non pas sur les fonctions continues par morçeaux mais sur la classe plus large de fonctions appelées ? mesurables ? qui seront dé ? nies dans le présent chapitre L ? avantage est que le champ des fonctions intégrables va être considérablement élargi Des fonctions très discontinues comme l ? indicatrice de l ? ensemble des nombres rationnels va être intégrable Dé ? nition d ? une tribu Dé ? nition Un ensemble de parties de RN est appelé tribu lorsqu ? il posséde les propriétés suivantes -Si une suite de parties de RN An n A A An alors F An n -Si A alors RN n A Conclusion Une tribu est un ensemble de parties de RN stable par réunion dénombrable et par passage au complémentaire Proposition Soit S Un ensemble de parties de RN on considère toutes les tribus i contenant S alors i S i est une tribu appelée tribu engendrée par S Dé ? nition de la tribu Borelienne Si on prend S ? parties ouvertes de RN ? alors i est une tribu S i tribu Borellienne de RN On la note BN appelée la CDé ? nition Soit une tribu de RN une mesure sur RN est une application ? X telque Ai Ai les Ai sont des parties de RN deux à deux disjoinctes i i Dé ? nition de la mesure de Lesbegue sur RN Si On prend BN la tribu Borelienne de RN la mesure de Lesbegue est l ? unique mesure telle que YN a b ? ? aN bN bi ? ai i Dé ? nition Soit P une propriet On dit que P est véri ? ée presque partout