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M 17 mp 2 e A ?? MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE-SUPAERO ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES SAINT-ÉTIENNE MINES NANCY IMT Atlantique ex Télécom Bretagne ENSAE PARISTECH Concours Centrale-Supelec Cycle International Concours

A ?? MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE-SUPAERO ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES SAINT-ÉTIENNE MINES NANCY IMT Atlantique ex Télécom Bretagne ENSAE PARISTECH Concours Centrale-Supelec Cycle International Concours Mines-Télécom Concours Commun TPE EIVP CONCOURS DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l ? épreuve heures L ? usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES II - PC L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre CPremière répétition I Exponentielle tronquée Pour x réel strictement positif et n entier naturel on pose ? n k k ? ? k k Tn x nx k et Rn x nx k k kn Justi ?er l ? existence de Que vaut la somme Rn x Tn x Rn x En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction ? ? nt te prouver pour tout réel strictement positif pour tout entier la relation x n ? n nx Rn x e n x ??u n d ue u n Soit y un réel strictement positif On pose n an n n y n Calculer lim ? ? n an an En déduire que si y ?? alors n? lim ? an On suppose dans cette question que ? Montrer que la fonction ? ? x ?? u admet sur un maximum tel que ?? En déduire u qu ? au ue x M M voisinage de l ? in ?ni Rn x nx oe puis que Tn x n? ? ? nx e ? ? Démontrer la relation n ??t d pour tout entier naturel n te t n Pour tout entier n ? montrer l ? identité suivante n ? ? nx Tn x e n ??u n d u e u nx C En déduire que si alors nx lorsque tend vers ? x Tn x o e n On pourra l ? écrire ??u n ? ??x n ?? ?? u pour ? ue xe u e ux Une estimation asymptotique de pour sera obtenue dans la suite Tn x x du problème II Méthode de Laplace On admettra la formule de l ? intégrale de Gauss ? ? ?? t d Ô e t ? ?? ? Soit ?? ??? R une fonction de classe C sur laquelle on fait les hypothèses f suivantes H f H ? ? ?? f H Pour tout ? ?? x H les nombres ?? et appartiennent à l ? intervalle f f Pour x ? ?? on pose ? x ?? ln f x x Montrer que ? puis à l ? aide d ? un développement limité déterminer f