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Representation des groupes finis preparation a l x27 agregation alexis tchoudjem universite lyon i 10 fevrier 2016

Représentation des groupes ?nis préparation à l ? agrégation Alexis Tchoudjem Université Lyon I février C Références Vinberg Algebra J -P Serre Représentations linéaires des groupes ?nis Guy Henniart Représentations linéaires des groupes ?nis disponible ici www math polytechnique fr xups xups - pdf Alperin Groups and representations Isaacs Character theory of ?nite groups Fulton Harris Representation theory Table des matières Références Sous-espaces invariants Complète réductibilité des représentations linéaires des groupes ?nis Caractères des représentations de groupes ?nis L ? espace hermitien des fonctions centrales Table des caractères de A Théorème de Burnside Représentations induites Sous-espaces invariants Soit k un corps Dé ?nition Une représentation k ??linéaire d ? un groupe G est un morphisme de groupes G ? GL V Si R G ? GL V et S G ? GL U sont des représentations d ? un groupe G un morphisme de R vers S est une application k ??linéaire V ? CU telle que le diagramme V R g V F U R g F U commute pour tout g ?? g Si est un isomorphisme on dit que R S Les sous-espaces invariants jouent un rôle important dans la structure des représentations linéaires De quoi s ? agit-il Dé ?nition Soit R G ? GL V une représentation linéaire d ? un groupe G On dit qu ? un sous-espace U ? V est invariant s ? il l ? est vis à vis de tous les endomorphismes R g g ?? G Si U ? V est un sous-espace invariant d ? une représentation R G ? GL V alors la sous-représentation RU G ? GL U g ? R g U et la représentation quotient RV U G ? GL V U g ? v mod U ? R g v mod U sont aussi des représentations linéaires de G Dé ?nition Une représentation R G ? GL V est irréductible si V et s ? il n ? existe pas de sous-espace invariant U V Exercice a Les représentations de dimension sont irréductibles F EB F F cos t ?? sin t b La représentation R R ? GL R t ? F EC F ED F F F F est irréduc- sin t cos t tible F EB F F cos t ?? sin t c La représentation R R ? GL C t ? F EC F ED F F F F n ? est pas sin t cos t irréductible d L ? isomorphisme S SO Z dé ?nit une représentation irréductible F EBF F réelle de S de dimension l ? isomorphisme s ? obtient en faisant agir F ECF F F ECF F SO Z sur ses quatre ??Sylow ou sur les quatre droites F EC F EC F F F F F ECF F F EDF F Cette dernière représentation est aussi irréductible sur C gr? ce à la proposition suivante CProposition Soit G ? GLn R une représentation irréductible de dimension n impaire Alors R G