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Controle continu final automne 2011 math i analyse correction 1

Université Claude Bernard Lyon Licence STS Année - Analyse I Les réels et les fonctions Interrogation écrite le janvier de heures à heures Question de cours Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires Allez à Correction question de cours Exercice Résoudre l ? équation di ?érentielle avec la condition initiale Allez à Correction exercice Exercice On dé ?nit la suite par la relation de récurrence Et son premier terme a Etudier la monotonie de la suite b Montrer que si la suite converge alors sa limite est c En déduire que deux choses l ? une Ou bien Ou bien On suppose que a Montrer que dans ce cas on a b Montrer que la suite converge et calculer sa limite On suppose que Dans ce cas montrer que On pourra utiliser par exemple la question On suppose que a Montrer que b En déduire la limite de dans ce cas On pourra utiliser par exemple la question Allez à Correction exercice Exercice Dans ce qui suit désigne un entier supérieur ou égal à Soit et les suites dé ?nies par Ecrire les termes et Pour calculer et En utilisant le théorème des accroissements ?nis montrer la double inégalité C En déduire que la suite est décroissante et que la suite est croissante En déduire que les suites et convergent vers une même limite Allez à Correction exercice Exercice Etude de la réciproque de la fonction Soit On suppose que est strictement croissante sur chacun des intervalles et Montrer que est strictement croissante sur Soit dérivable On suppose que pour tout a Montrer que est strictement croissante sur et sur On justi ?era ce fait b En déduire que est strictement croissante sur Soit a Montrer que pour tout b En déduire que est strictement croissante a Déterminer l ? image de b Montrer que réalise une bijection de vers a Montrer que admet une bijection réciproque qui est continue b Quels sont les points o? est dérivable Allez à Correction exercice CORRECTION Correction question de cours Soit un intervalle de Pour tout avec pour tout entre et c ? est-à-dire dans si ou dans si il existe tel que Allez à Question de cours Correction exercice L ? équation homogène est Donc On intègre Puis on compose par l ? exponentielle Ensuite on cherche une solution particulière de sous la forme Alors Ce que l ? on remplace dans CCe qui équivaut à Soit on fait une intégration par partie soit on cherche une primitive de On dérive Et on identi ?e avec Donc Ce qui entraine que Et en ?n la solution générale de est Ensuite on cherche tel que Donc et la solution recherchée est Allez à Exercice sous la forme Correction exercice a donc la suite de terme général b Si la suite converge vers une limite alors véri ?e est croissante Si converge alors la limite de cette suite est c Soit la suite est croissante et majorée alors elle converge vers la seule limite possible