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Corrige 4 2 Processus aléatoires ENS Paris Bastien Mallein Bureau V TD ?? Borel-Cantelli loi des grands nombres et quelques autres février Quelques rappels sur Borel-Cantelli Exercice Série aux di ?érences Soit Xn une suite de variables aléatoires réelles

Processus aléatoires ENS Paris Bastien Mallein Bureau V TD ?? Borel-Cantelli loi des grands nombres et quelques autres février Quelques rappels sur Borel-Cantelli Exercice Série aux di ?érences Soit Xn une suite de variables aléatoires réelles Montrer que s ? il existe une suite an de réels positifs telle que an ? et P Xn ?? Xn an ? alors la suite Xn converge presque sûrement Démonstration On applique le Lemme de Borel-Cantelli presque sûrement il existe N ?? N tel que pour tout n ? N Xn ?? Xn ?? ? an Par conséquent la série Xn ?? Xn ?? est absolument convergente donc convergente Par conséquent Xn converge Exercice Limite de Xn n Soit Xn une suite de variables aléatoires i i d Montrer que Xn ? n p s ? ?? E X ? Montrer également que si E X ? en posant Sn X Xn lim sup Sn ? n ? ? n Démonstration Soit on observe que ? ? ? E X ? E X ? k P Xk ? k k k En appliquant le lemme de Borel-Cantelli on a lim supn ? ? Xn n ? ce qui conclut De la même façon on a ? ? ? E X ? E A X ? kA P Xk ? kA k k Dès lors on obtient lim supn ? ? Xn n ? A De plus lim infn ? ? Xn n donc la suite ne converge pas p s Pour la conséquence on observe que si Xn n est plus grand que A in ?niment souvent alors Sn n est plus grand que A in ?niment souvent soit avant le saut de A soit après CExercice Soit Xn une suite i i d de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites on pose Sn X Xn Montrer que P X ? a ??a ? ? ?? e ??a a ? Indication On pourra utiliser que E X ? a X o P X ? a ?? ?? Déterminer la loi de Sn n En déduire que si an est une suite de réels positifs telle que an n ? ? ??alors Sn an ? en probabilité Peut-on conclure pour la convergence p s Montrer que pour an n log n la convergence a lieu presque sûrement Montrer que lim sup ?? Xn lim sup ?? Xn p s n ? ? log n n ? ? log n Démonstration On réalise une intégration par parties on a ? e ??x dx a ? xe ??x dx e ??a a xa ? a x e ??x dx or ? ? a x e ??x ? a ? a e ??x dx on obtient l ? équivalent On observe trivialement que ??Sn n est une variable aléatoire gaussienne centrée réduite en étudiant par exemple la fonction caractéristique On en déduit les résultats suivants car P Sn an P X an n ? ?? La convergence p s ne tient pas par exemple en utilisant an n