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Courdevlim NOTION DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I ?? Introduction Soit f une fonction dérivable au point x Il existe donc un intervalle ouvert de centre et de rayon r noté I r inclus dans l ? ensemble de d

NOTION DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I ?? Introduction Soit f une fonction dérivable au point x Il existe donc un intervalle ouvert de centre et de rayon r noté I r inclus dans l ? ensemble de dé ?nition de f et une fonction numérique tels que F F F F ??x ??I r f x f x f ' x x F F F F F F lim x x ? Cette écriture de f x constitue le développement limité d ? ordre de f au voisinage de Remarque lim x ? f x ?? x ?? f x x f ' x ?? f x f x f ' x x avec lim x D ? o? l ? existence du développement limité d ? ordre de f en est x ? équivalente à la dérivabilité de f en et donc de lim f x ?? f x ? x II ?? Dé ?nitions a Dé ?nition Dire qu ? une fonction f admet un développement limité d ? ordre n n ?? au voisinage de signi ?e qu ? il existe un intervalle I r ? Df et une fonction tels que ??x ?? I r f x f x f ' x f '' x f ''' xn f n xn x n avec lim x Formule de Mac Laurin x ? En posant Pn x f x f ' x f '' xn n f n et Rn x xn x on a ??x ?? I r F F F F f x Pn x Rn x F F F F F F lim x ? Rn x xn L ? écriture de f x sous la forme Pn x Rn x s ? appelle développement limité d ? ordre n en de f Pn s ? appelle la partie régulière du développement limité et la fonction x xn x Rn x s ? appelle le reste du développement limité Pn x s ? appelle l ? approximation polynomiale de degré n de la fonction f Notion de développements Limités Page sur Adama Traoré Professeur Lycée Technique Cb Exemple de développement limité d ? ordre n en Trouver le développement limité d ? ordre de la fonction cosinus En déduire les approximations polynomiales de degré et de cosinus Réponse cos x ?? x x ?? x x x P x ?? x x est l ? approximation polynomiale de degré de cos en P x ?? x x est l ? approximation polynomiale de degré de cos en III ?? Développements limités d ? ordre en des fonctions usuelles sin x x ?? x x x avec lim x ? cos x ?? x x x avec lim x x ? ex x x x x x avec lim x ? x tgx x x x x avec lim x ? x ln x x ?? x x x x avec lim x ? x x x ??