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De monstration mathe matique inv3rsion yvesmeret pierreboc

Inv rsion La démonstration CI Introduction Dans le cadre de la semaine des mathématiques nous vous proposons une démonstration de la routine de Bob Hummer Mathematical three card monte suivie d ? une démonstration des principes d ? Inv rsion Il nous a semblé pertinent de vous présenter ce travail il vous permettra de comprendre en profondeur les mécanismes mis en jeu Nous sommes certains qu ? il vous ouvrira des perspectives d ? études dans des situations ne se limitant pas à trois objets Les concepts mathématiques reposent sur des notions étudiées au niveau MP Nous avons bien conscience que le contenu de cet exposé peut para? tre austère et peu accessible Cependant nous précédons les deux démonstrations d ? un préambule rappelant les dé ?nitions et propriétés des objets mathématiques présents dans les deux démonstrations En ?n tout lecteur ayant suivi un cursus scienti ?que sera en mesure de suivre la première démonstration La seconde d ? un niveau plus élevée vous donnera quant a elle des clés pour explorer des situations plus complexes qui nous paraissent inaccessibles par des expériences de type essai-erreur Concluons cette introduction sur l ? axe retenu dans les lignes que vous allez lire si certains passages peuvent sembler évidents voir tautologique nous prenons en compte la diversité de nos lecteurs Ainsi ceux qui on fait des études à dominante mathématique et qui par la suite se sont éloignés de l ? algèbre dites générale pourrons suivre l ? ensemble du texte qui suit Bon voyage II Préambule Groupe Soit G un ensemble non vide muni d ? une loi de composition interne noté On dit que G est un groupe lorsque l ? opération a est associative b admet un élément neutre c tout élément admet un symétrique Point ?xe Soit f une application d ? un ensemble E dans lui même On dit que x est un point ?xe de f lorsque f x x C- Sn Soit n un entier naturel non nul On note Sn l ? ensemble constitué des bijections de l ? ensemble des entiers naturel strictement positifs et inférieurs à n dans lui même Propriété Sn muni de la loi de composition est un groupe On note cette loi Démonstration Associativité Soit ? ? et ? Puisque ? ? ? ? ? ? la loi est associative Recherche du neutre Soit n un entier naturel non nul On considère l ? application de ? n dans lui même qui ?xe tous les points Il est immédiat de constater qu ? une telle application est un élément de Sn Cette application est notée Id Soit ? un élément de Sn Puisque Id ? ? Id ? Id est l ? élément neutre de Sn Symétrie des éléments de Sn Soit ? une bijection de Sn et ?- sa bijection réciproque Puisque ? ?- ?- ? Id tout élément de Sn est symétrisable Conclusion Sn est un groupe -Dé ?nition permutation Les éléments de Sn sont appelés permutations