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Distributions cours special 1ere partie

DISTRIBUTIONS ? Introduction L'objet de ce chapitre est de justi ?er l'introduction des nouveaux objets mathématiques appelés distributions L'origine de ce terme provient de la notion physique de distribution de charge ou de masse On les appelle encore fonctions généralisées Elles sont encore introduites pour que la notion de dérivation soit applicable à une classe de fonctions qui ne sont pas continues Illustrons tout ce que nous venons de dire par trois exemples Exemple Fonction de Heaviside On appelle fonction de Heaviside ou bien fonction échelon unité la fonction notée Y t ou H t dé ?nie par ? si t ? Y t ? H t ? u t ? ?? ? si t ?? Cette fonction peut représenter l'intensité d'un courant continu dans un circuit égale à l'instant t ? La fonction H t n'est pas dérivable en t ? et en tout point t on a H t ? Cependant si on suppose que au temps t ? le courant s'établit linéairement dans un très petit intervalle de temps on peut considérer que Y est égale à l'in ?ni On peut donc dé ?nir Y notée ? par le physicien Paul Dirac dans sa formulation de la mécanique quantique par Y t ? H t ? ? ? ?? ? si si t ? t illustré dans la ?gure ci-dessous ?gure Si l'on veut calculer l'intégrale sur de cette fonction ? ?g on doit écrire ?? ? t dt ? ?? H t dt ? ??H t ? t ? t ?? ? R R résultat en contradiction avec l'analyse mathématique classique car l'intégrale d'une fonction nulle presque partout ici sur est nécessairement nulle Ces objets mathématiques ressemblent à des fonctions sans en être véritablement Ecole Polytechnique d ? Antananarivo Distributions Auteur Randimbindrainibe Falimanana C Exemple fonctions impulsions On appelle fonction impulsion la fonction dé ?nie pour tout ? ? par f ? x ? ? ? ?? ? si x ? ?? ? ? ? ? aileurs c'est une fonction continue presque partout sur l'axe réel de plus ?? R f ? x dx ? ? ?? ? dx ? La suite de fonctions ??f ? x ?? ? ? dé ?nit l'activation d'un compteur En faisant tendre ? vers ? cette suite de fonctions converge vers la fonction de Dirac ? x et l'on obtient ?? ? x dx ? R Ainsi la fonction de Dirac ? x est encore appelée fonction impulsion unité Exemple Potentiel électrostatique Imaginons maintenant une charge Q ? répartie le long d'un axe entre les points d'abscisse ?? h et h avec une densité au point x égale à ? h x Cette fonction densité dé ?nie par x ? h x a les propriétés suivantes ? ? ? ?? ? ? h h x x ? ? si x ? h ? ? ?? ? h x dx ? Q ? R Le potentiel électrostatique créé en un point a de l'axe est donné par Vh a ? ?