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Ds2 va correction ECE Mathématiques DS version A Octobre version A Exercice Inspiré Oral ESCP Partie I Étude d ? une suite récurrente On considère une suite un n ??N dé ?nie par u ?? R et ??n ?? N un un n On suppose u On pose ??n ?? N vn ln un n Montrer q

ECE Mathématiques DS version A Octobre version A Exercice Inspiré Oral ESCP Partie I Étude d ? une suite récurrente On considère une suite un n ??N dé ?nie par u ?? R et ??n ?? N un un n On suppose u On pose ??n ?? N vn ln un n Montrer que la suite vn n ??N est bien dé ?nie et ??n ?? N un Démonstration ? Démontrons par récurrence ??n ?? N P n o? P n un Initialisation D ? après l ? énoncé u D ? o? P Hérédité soit n ?? N Supposons P n et démontrons P n i e un Par hypothèse de récurrence un Comme un alors un car la fonction x ? x est strictement croissante sur ? - Comme de plus ? n alors un un n D ? o? P n Par principe de récurrence on en conclut ??n ?? N un ? Soit n ?? N Comme un alors la quantité ln un est bien dé ?nie De plus n On en déduit que la quantité vn ln un n est bien dé ?nie Ainsi la suite vn est bien dé ?nie Commentaire Démontrer qu ? une suite vn n ??N est bien dé ?nie c ? est démontrer que pour tout n ?? N la quantité vn est bien dé ?nie CECE Mathématiques Octobre version A ln k ? ? ? ln k a Montrer que la série k k converge Dans la suite on note ? ?? k k Démonstration On a ln n ? ??n n ln n ? n o n ? ? et n n En e ?et ln n n n ln n n n ln n n ?? ?? ?? ? n n n ? ? ln n n car ?? ?? ? et ?? ?? ? par croissances comparées n n ? ? n n ? ? ? La série n n est une série de Riemann d ? exposant Elle est donc convergente ln n Par critère de négligeabilité des séries à termes positifs la série n n converge Commentaire ? Le théorème des croissances comparées stipule que pour tout b et q ln n b lim n ? ? qn On dit alors que la croissance logarithmique est plus faible que la croissance exponentielle Dans cette question il s ? agit de démontrer n ln n lim n ? ? n Le numérateur n ? est ni polynomial ni logarithmique En toute rigueur il faut donc un argument supplémentaire avant de pouvoir utiliser le théorème des croissances comparées ? Il faut avoir en tête n ln n o n La croissance au numérateur est donc au n ? ? mieux polynomiale ? Il est donc logique que la croissance exponentielle au dénominateur l ? emporte ? Rappelons au passage la condition NÉCESSAIRE de convergence des séries wn converge ?? wn ?? ? n ? ? Cette condition n ? est pas su ?sante wn ?? ?