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Exercice corrige sur le cyclotron

IMRT Particule chargée dans les champs électrique et magnétique III - Le cyclotron énoncé et corrigé Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D et D' à l'intérieur desqu ??elles on établit un champ magnétique de vecteur représentatif B Dans l'espace compris entre les deux demi-boites on établit une tension UDD ? allternative de valeur maximale U Des ions positifs de charge q de masse m sont injectés en O avec une vitesse négligeable La tension UDD ? est positive a Établir les expressions littérales en fonction de q U et m de l'énergie cinétique EC et de la vitesse v de ces ions à leur première arrivée en D' Onappliquelethéorèmedel ? énergiecinétiqueàuniondemassem etdechargeqsoumis à la tension ou di ?érence de potentiel UDD ? VD- VD ? pendant son déplacement de DàD ? dans le référentiel terrestre supposé galiléen Lepoidsdel ? ionestnégligeable par rapport à la force électrique exercéesurl ? io ??n EC D ? ??EC D WDD ? Félectrique donc EC ?? q VD ??VD ? qUDD ? soit EC q U en assimilant UDD ? àsavaleurmaximaleUpendantletrajettrèscourtdeDàD ? EC mv donc v EC m soit v q U m Calculer EC en joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v Données q - C m - kg U V EC x - x x - J x - x - x eV keV V ? ? ?? ? ? ?? x m s- b Ces ions pénètrent alors dans D' Quel est ensuite leur mouvement Exprimer en fonction de B q U et m le rayon R de leur trajectoire Calculer R si B T Mouvement circulaire uniforme R mv m q B q B q U m soit R B mU q R ? ? ?? ? ? ?? m cm Les ions ressortent de D' On inverse alors la tension UDD ? en lui gardant la même valeur U Établir les expressions a de leur vitesse v à l'entrée de D et leur énergie cinétique L ? ionsedéplacedeD ? ??avecl ? énergieEC jusqu ? àDavecl ? énergie EC on applique le TEC EC D ??EC D ? WD ? D Félectrique donc EC ??EC q VD ? ??VD qUD ? D q U Soit EC EC q U et comme EC q U on obtient EC q U EC v EC m EC m EC m et comme v EC on obtient m v x v b du rayon R de leur trajectoire dans D R mv q B mv q B soit R x R c du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n nombre de passages entre D et D' et de R premier passage n R x R deuxième passage n R x R x x R R troisième passage n R x R x R R en remarquant que est à la puissance n on généralise la formule du rayon Rn n R ou bien Rn n R C Le cyclotron ayant un rayon de cm calculer le