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Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI EN MÉCANIQUE So

Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI EN MÉCANIQUE Sommaire Bloc 1 :Oscillateur harmonique non amorti en mécanique..................................................................3 I.Force de rappel élastique exercée par un ressort............................................................................4 A.Notations.................................................................................................................................4 B.Force de rappel........................................................................................................................4 II.Mouvement horizontal sans frottement d’une masse accrochée à un ressort sans masse............5 A.Présentation du problème........................................................................................................5 B.Équation différentielle.............................................................................................................5 C.Position d’équilibre.................................................................................................................6 D.Résolution de l’équation différentielle....................................................................................6 1Dimensions.............................................................................................................................6 2Équation du mouvement.........................................................................................................7 a)Conditions initiales 1......................................................................................................8 b)Conditions initiales 2......................................................................................................8 c)Conditions initiales 3......................................................................................................8 d)Conditions initiales 4......................................................................................................8 e)Conditions initiales 5......................................................................................................9 E.Généralisation..........................................................................................................................9 1Équation différentielle............................................................................................................9 2Solution...................................................................................................................................9 3Définitions..............................................................................................................................9 a)Amplitude :.....................................................................................................................9 b)Phase :..........................................................................................................................10 c)Période et fréquence.....................................................................................................13 F.Aspect énergétique.................................................................................................................13 1Conservation de l’énergie.....................................................................................................13 2Cohérence énergie-équation différentielle du mouvement...................................................14 a)De l’équation différentielle vers la conservation de l’énergie......................................14 b)De la conservation de l’énergie vers l’équation différentielle......................................14 III.Compléments.............................................................................................................................15 A.Mouvement vertical sans frottement d’une masse accrochée à un ressort sans masse, soumise à la pesanteur...............................................................................................................15 1Équation différentielle..........................................................................................................15 a)Écriture du principe fondamental.................................................................................15 b)Origine quelconque......................................................................................................15 c)Origine quelconque en tenant compte de la position d’équilibre.................................16 d)Origine à la position d’équilibre...................................................................................16 e)Mise en équation rapide du mouvement.......................................................................17 f)Un exemple de conditions initiales...............................................................................18 2Énergie..................................................................................................................................19 a)Intégrale première de conservation de l’énergie...........................................................19 b)Origine quelconque......................................................................................................19 c)Origine à la position d’équilibre...................................................................................19 B.Mouvement vertical sans frottement d’une masse accrochée à deux ressorts opposés.........22 1Étude complète par les forces...............................................................................................22 2Étude rapide par les forces...................................................................................................23 1/24 Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 3Énergie..................................................................................................................................23 a)Expression de l’énergie potentielle...............................................................................23 b)Intégrale première.........................................................................................................24 2/24 Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 SIGNAUX PHYSIQUES Bloc 1 : Oscillateur harmonique non amorti en mécanique Ce système permet d’introduire le concept fondamental d’équation différentielle modèle de l’évolution temporelle 3/24 Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 I. Force de rappel élastique exercée par un ressort A. Notations On note : l 0 : la longueur à vide du ressort l : la longueur du ressort (dans la suite, on notera aussi : l eq : la longueur du ressort à l’équilibre). On note : k : la constante de raideur du ressort. L’allongement du ressort est (l −l 0) . Il s’agit d’une grandeur algébrique, négative dans le cas où le ressort est comprimé. B. Force de rappel La grandeur de la force de rappel ou force élastique exercée par le ressort en ses deux extrémités A et B est proportionnelle à l’allongement (l −l 0) et à la raideur k (loi de Hooke). Si le ressort est « trop » tendu ou « trop » comprimé la déformation n’est plus élastique mais plastique. Pour préciser la force, il faut donner l’écriture vectorielle, sachant que le sens des forces en A et en B est tel que le ressort cherche à retrouver sa longueur à vide. Ressort à vide Ressort en extension Ressort en compression l =l 0 l >l 0 l <l 0 Pas de forces de rappel Sens des forces de rappel : ⃗ FA ⃗ FB Sens des forces de rappel : ⃗ FA ⃗ FB Pour exprimer le résultat en A , on utilise un vecteur unitaire dirigé vers l’extérieur du ressort, c’est-à-dire de sens B→A noté ⃗ uBA . On a ⃗ FA=−k(l −l 0)⃗ uBA . Pour le ressort dilaté, la force en A est bien dirigée dans le sens A vers B . Pour le ressort comprimé, la force en A est bien dirigée dans le sens B vers A . Pour exprimer le résultat en B , on utilise un vecteur unitaire dirigé vers l’extérieur du ressort, c’est-à-dire de sens A→B noté ⃗ u AB . On a ⃗ FB=−k(l −l 0)⃗ u AB . On a ⃗ FB=−⃗ FA en accord 4/24 l0 A B l A B l A B Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 avec le principe de l’action et de la réaction. On peut utiliser la formule qui résume tous les cas : ⃗ F=−k(l −l 0)⃗ uext (on retrouve en supposant le ressort dilaté, la formule obtenue étant aussi valable si le ressort est comprimé) II. Mouvement horizontal sans frottement d’une masse accrochée à un ressort sans masse A. Présentation du problème (Sur le dessin, on a supposé l >l 0 d’où le sens choisi pour ⃗ F . Pour favoriser la lecture le poids m⃗ g et la réaction ⃗ R ont été représentés en léger décalage selon l’axe x ) avec : ⃗ F=−k(l −l 0)⃗ ux ⃗ R=R ⃗ uy (en l’absence de frottement solide) m⃗ g=−m‖ ⃗ g‖ ⃗ uy=−m g ⃗ uy B. Équation différentielle On désigne par x l’abscisse du point M et par ⃗ a l’accélération du point M avec ⃗ a=d 2x d t 2 ⃗ ux+0 ⃗ uy puisque le point ne se déplace pas selon y . On remarquera que l’axe des x est défini plus haut mais que le choix de son origine est encore à préciser. On applique le principe fondamental : 5/24 M x Longueur à vide Longueur en mouvement y Les forces m⃗ g ⃗ F ⃗ R Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 ⃗ F + ⃗ R + m⃗ g = m ⃗ a −k(l −l 0)⃗ ux + R ⃗ uy − m g ⃗ u y = m d 2x d t 2 ⃗ ux puis on projette sur les deux axes choisis : /x −k(l −l 0) = m d2x d t 2 (1) / y R − m g = 0 On choisit une origine quelconque sur l’axe. L’abscisse de M est notée x . Lorsque le ressort a sa longueur à vide, l’abscisse de M=M 0 est x0 (dans le cas où l’origine est prise sur l’extrémité fixée du ressort, alors x=l et x0=l 0 ). Dans tous les cas (l −l 0)⃗ ux=⃗ M 0 M=(x−x0)⃗ ux . Avec une origine quelconque sur l’axe, l’équation différentielle du mouvement est donc : −k(x−x0)=m d 2x dt 2 (2) C. Position d’équilibre On choisit souvent comme origine de l’axe la position d’équilibre M eq du mobile. Avec cette origine, l’abscisse sera notée X avec X=x−xeq . Certes, on aurait pu commencer par étudier la position d’équilibre. En fait, il suffit dans l’équation générale (1) obtenue pour le mouvement, de porter la condition d’équilibre : l’accélération d 2x d t 2 est nulle à l’équilibre. On obtient alors : −k(l e q−l 0)=0 soit : l e q=l 0 À l’équilibre, ce qui est évident, le ressort a ici la même longueur qu’à vide. −k(x−xeq)=m d 2x d t 2 −k X=m d 2X d t 2 (3) (le passage de (2) à (3) pouvait s’expliquer mathématiquement par un simple changement de variable X=x−x0 ) D. Résolution de l’équation différentielle On résout (3) . −k X=m d 2X d t 2 ¨ X+ k m X=0 1 Dimensions • d’une pulsation ω 6/24 Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 [ω]=T −1 (unité de ω : rad .s −1 ) • du rapport k m soit on remarque que : [ k m]=[ ¨ X] [ X] [ k m]=LT −2 L [ k m]=T −2 soit on fait : [ k m]= [k] [m] (unité de k : N .m −1 ) [ k m]=[F] L −1 M et en remarquant qu’une force, c’est le produit d’une masse par une accélération [ k m]=MLT −2 L −1 M [ k m]=T −2 Il n’y a pas d’incohérence à poser ω0=√ k m (pulsation propre). ¨ X+ω0 2 X=0 2 Équation du mouvement La solution de cette équation différentielle peut s’écrire sous la forme : X=A cos(ω0t +ϕ) (les deux constantes A et ϕ sont à déterminer en connaissant les conditions initiales : position et vitesse en t=0 ) ou sous la forme : X=acos(ω0t)+bsin(ω0t ) (les deux constantes a et b sont à déterminer en connaissant les conditions initiales). La deuxième écriture est sans doute plus pratique pour une résolution mathématique. La première écriture est plus intéressante sur le plan physique car elle permet d’accéder directement à l’amplitude ( A choisi positif) et la phase (phase à l’origine ϕ par exemple entre −π et π , obtenue modulo 2π ). On choisit ici la première écriture. X=A cos(ω0t +ϕ) ˙ X=−Aω0sin(ω0t+ϕ) 7/24 Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 a) Conditions initiales 1 En t=0 , X=a>0 et v=0 On doit résoudre : a=A cos(ϕ) 0=−Aω0sin(ϕ) On peut choisir A=a et ϕ=0 . (les autres choix possibles reviennent à cette même solution) X=acos(ω0t) b) Conditions initiales 2 En t=0 , X=0 et v=−v0 On doit résoudre : 0=A cos(ϕ) −v0=−Aω0sin(ϕ) On peut choisir A= v0 ω0 et ϕ= π 2 . X= v0 ω0 cos(ω0t+ π 2 ) X=−v0 ω0 sin(ω0t) c) Conditions initiales 3 En t=0 , X=−a<0 et v=0 On doit résoudre : −a=Acos(ϕ) 0=−Aω0sin(ϕ) On peut choisir A=a et ϕ=π ou −π . X=−acos(ω0t) d) Conditions initiales 4 En t=0 , X=0 et v=v0 On doit résoudre : 0=A cos(ϕ) v0=−Aω0sin (ϕ) On peut choisir A= v0 ω0 et ϕ=−π 2 . X= v0 ω0 cos(ω0t−π 2 ) 8/24 Gérald PHILIPPE SP01 05/03/15 X= v0 ω0 sin(ω0t ) e) Conditions initiales 5 En t=0 , X=X0 et v= ˙ X0 On doit résoudre : X0=A cos(ϕ) ˙ X0 ω0 =−Asin (ϕ) d’où en faisant la somme des deux égalités au carré : A=√X 0 2+ ˙ X0 uploads/Litterature/ cours-sup001-sp01-oscillateur-harmonique-non-amorti-en-mecanique-pdf.pdf