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P05 les lois usuelles pdf A El Mossadeq CLes Lois Usuelles C La Loi de Bernouilli Soient T P un espace probabilisé et X une variable aléatoire dé ? nie sur cet espace Lois Usuelles A El Mossadeq CX est une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p p

A El Mossadeq CLes Lois Usuelles C La Loi de Bernouilli Soient T P un espace probabilisé et X une variable aléatoire dé ? nie sur cet espace Lois Usuelles A El Mossadeq CX est une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p p si elle prend les valeurs et avec les probabilité s p et p respectivement P X p P X p On la note B p Lois Usuelles A El Mossadeq CL ? espérance mathématique et la variance de X sont don- nées par E X p V X p p Lois Usuelles A El Mossadeq CLes fonctions caractéristique et génératrice sont dé ? nies par t p p exp it t R G z p p z z C Lois Usuelles A El Mossadeq C La Loi Binomiale Soit T P un espace probabilisé Supposons qu ? on s ? intéresse au nombre de réalisations d ? un événement A de T lorsqu ? on fait n épreuves indépendantes de l ? expérience aléatoire décrite par T P Lois Usuelles A El Mossadeq CNotons Zn la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de A en n épreuves indépendantes Zn est la somme de n variables indépendantes de Bernouilli de même paramètre p o? p P A Lois Usuelles A El Mossadeq CPour tout k k n on a P Zn k C n k pk p n k La loi de Zn que l ? on note B n p est appelée la loi binomiale d ? ordre n et de paramètre p Lois Usuelles A El Mossadeq CL ? espérance mathématique et la variance de Zn sont don- nées par E Zn np V Zn np p Lois Usuelles A El Mossadeq CLes fonctions caractéristique et génératrice de cette vari- able sont dé ? nies par n t p p exp it n t R Gn z p p z n z C Lois Usuelles A El Mossadeq C La Loi Géométrique Soit A un événement d ? un espace probabilisé T P Soit Y la variable aléatoire égale au nombre d ? épreuves nécessaires pour la réalisation de l ? événement A les épreuves étant indépendantes Lois Usuelles A El Mossadeq CPour tout k k N on a P Y k p p k o? p P A C ? est la loi géométrique de paramètre p notée G p Lois Usuelles A El Mossadeq CL ? espérance mathématique et la variance de Y sont don- nées par E Y p V Y p p Lois Usuelles A El Mossadeq CLes fonctions caractéristique et génératrice sont dé ? nies par Y t p exp it p exp it t R GY z pz p z z C Lois Usuelles A El Mossadeq C La Loi Binomiale Négative Soit A un événement d ? un espace probabilisé T P Soit Yr une variable aléatoire dé ? nie sur cet espace telle que Yr r k k N désigne l ? événement A se réalise