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Mht204 chap1 Chapitre Suites r ?eelles et complexes Dans ce chapitre K d ?esigne le corps R des nombres r ?eels ou le corps C des nombres complexes Pour x ?? K nous noterons x le module de x ?egal a la valeur absolue de x dans le cas r ?eel Nous appellero

Chapitre Suites r ?eelles et complexes Dans ce chapitre K d ?esigne le corps R des nombres r ?eels ou le corps C des nombres complexes Pour x ?? K nous noterons x le module de x ?egal a la valeur absolue de x dans le cas r ?eel Nous appellerons distance entre deux ?el ?ements x et y de K le r ?eel x ?? y G ?en ?eralit ?es D ?e ?nition Une suite a valeurs dans K est une famille d ? ?el ?ements de K index ?ee par l ? ensemble N des entiers naturels La donn ?ee d ? une suite un n ??N ?equivauta la donn ?ee de l ? application N ?? ? K n ?? ? un Une sous-suite ou suite extraite d ? une suite un n ??N est une suite de la forme unk k ??N ou les nk sont des entiers tels que n n n Si un n ??N est donn ?ee par l ? application N ? K alors unk k ??N est donn ?ee par l ? application ou est d ?e ?nie par k nk Une suite peut etre d ?e ?nie de plusieurs fac ons ?? Par une formule explicite un nn ?? Par une r ?ecurrence u et pour tout n ?? N un un ?? Abstraitement un est le n-i eme nombre premier Il arrive que les premiers termes d ? une suite ne soient pas d ?e ?nis Par exemple dans la suite ?? un n ?? Cles termes u et u ne sont pas d ?e ?nis On notera un n ? cette suite E ?tant donn ?ee une suite un n ??N on a deux suites extraites importantes la suite u k k ??N des termes pairs et la suite u k k ??N des termes impairs Exemple La suite de Syracuse d ? un nombre entier N est d ?e ?nie par r ?ecurrence de la mani ere suivante u N et pour tout entier n ? un un un si un est pair si un est impair Lothar Collatz a conjectur ?e en que pour tout N il existe un indice n tel que un Une fois que le nombre est atteint la suite des valeurs se r ?ep ete ind ?e ?niment La conjecture reste ouverte aujourd ? hui Elle a ?et ?e v ?eri ? ?ee par ordinateur pour N Convergence d ? une suite r ?eelle ou complexe La d ?e ?nition moderne de la limite encore utilis ?ee aujourd ? hui est donn ?ee ind ?ependamment par Bolzano en et par Cauchy en dans son Cours d ? analyse de l ? E ?cole royale polytechnique D ?e ?nition On dit qu ? une suite un n ??N d ? ?el ?ements de K converge vers ? ?? K si pour tout il existe N ?? N tel que pour tout n ? N on ait un ?? ? ? ou avec des