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Solution devoir 2 Université de Batna Département de Mathématique eme année Master Batna Exercice SOLUTION DEVOIR Théorie du contrôle stochastique Soit le problème de minimiser la fonctionnelle J u lim sup E T Z T x t T Qx t uT t Ru t dt T correspondant a

Université de Batna Département de Mathématique eme année Master Batna Exercice SOLUTION DEVOIR Théorie du contrôle stochastique Soit le problème de minimiser la fonctionnelle J u lim sup E T Z T x t T Qx t uT t Ru t dt T correspondant au système dx t Ax t Bu t dt Cdw t t t x t x L ? équation de Bellman correspondante à ce problème est inf fAuVx x u g u U inf AuVx xT Qx uT Ru u U inf u U xT AT Vx uT BT Vx trace CT VxxC xT Qx uT Ru inf u U xT AT Vx ? uT BT Vx trace CT VxxC xT Qx uT Ru Soit V x xT P x o? P est une matrice symétrique dé ? nie positive L ? équation de HJB est équivalente à inf fxT AT P x xT P Ax uT BT P x xT Qx uT Ru trace CT P C g u U inf fxT AT P x xT P Ax uT BT P x xT Qx uT Ru trace CT P C u U g On remarque qu ? on atteint le minimum pour u tel que BT P x Ru alors u t R BT P x t Remplaçons cette valeur de u dans l ? équation de HJB on trouve xT AT P x xT P Ax xT Qx u T BT P x u T Ru d ? o? on obtient xT AT P P A P BR BT P Q x trace CT P C On déduit que AT P P A P BR BT P Q trace CT P C CLe contrôle optimal est u t R BT P x t ? o? P est la solution de l ? équation de Riccati AT P P A P BR BT P Q Comme A B est stabilisable et A G est détectable o? GT G Q alors il existe une solution unique de l ? équation algébrique de Riccati AT P P A P BR BT P Q et le coût minimal est J u trace CCT P Exercice On utilise la programmation dynamique pour résoudre le problème de contrôle optimal Z inf E e tx au t b a dt u o? a correspondant au système dx t u t x t dt x t dw t x x L ? équation de Bellman correspondante à ce problème est inf fAuVx x u V x g u U inf u R u xVx x au b a trace xVxx x V x inf u R Vxx xVxu x au b a Vxx x Soit V x P x o? P L ? équation de HJB est équivalente à V x inf P x u R Px u x au b a P x Px inf f u U Px Px u x au b ag On remarque qu ? on atteint le minimum pour u tel que Px a au b