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Probabilites epreuve zero mines et ponts pdf 1

File d ? attente M GI CCMP Epreuve de probabilités On considère la ?le d ? attente à une caisse de supermarché Il y a un serveur et un nombre de places in ?ni Les clients sont servis selon la discipline premier arrivé premier servi ? On appelle système ? l ? ensemble des clients en attente et du client en service On considère An n ? la suite de variables aléatoires à valeurs dans N o? An représente le nombre de clients arrivés pendant le service du client n On dé ?nit la suite Xn n ? comme suit X et Xn An Xn ?? An si Xn si Xn On suppose que les variables aléatoires An n ? sont indépendantes et de même loi de loi commune celle d ? une variable aléatoire A Hypothèse On suppose que ?? A est à valeurs entières ?? P A ? n pour tout entier n ?? A a une espérance ?nie on note ? E A Fonction caractéristique Dans cette section X représente une variable aléatoire quelconque à valeurs dans N On dé ?nit sa fonction caractéristique X par X R ?? ? C t ?? ? E eitX C Montrer que X est continue sur R et périodique Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telles que X Y Montrer que X et Y ont même loi Indication on pourra considérer les intégrales Ik ? ? X t e ??ikt dt ?? ? pour tout entier k Si E X ? montrer que X est dérivable sur R et calculer X Calculer la fonction caractéristique d ? une variable aléatoire Z Y o? Y est de loi géométrique de paramètre p Remarques préliminaires Etablir que Xn représente le nombre de clients dans le système au moment du départ du client n Existe-il M tel que P Xn ? M pour tout n ? Montrer que pour tout n ? Xn ?? Xn ? ?? Pour tout n ? montrer que les variables aléatoires Xn et An sont indépendantes Convergence Etablir l ? identité suivant pour X une variable aléatoire à valeurs entières E eitX X X t ?? P X Pour tout entier n établir la relation suivante Xn t A t e ??it Xn t ?? e ??it P Xn COn suppose dorénavant que ? On admet qu ? alors la suite P Xn n ? converge vers une limite notée On suppose que A n ? est pas arithmétique c ? est-à-dire que A t pour t ?? k ? k ?? Z On pose ?? ? ? ?? ? C ?? ? t ?? ? A t ?? e ??it ?? A t e ??it pour t Etablir le développement limité à l ? ordre de A au voisinage de Que doit valoir pour que soit continue en On ?xe Pour tout t ?? ?? ? ? identi ?er ?t ?? tel que pour tout entier n su ?samment grand on ait