Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Sujet dm gis2a3 PROBABILITÉS GIS A DEVOIR MAISON La date limite de rendu du Devoir Maison est le mai à h La première partie porte sur des notions fondamentales du cours pour la suite de la formation La seconde partie permet d ? aller un peu plus loin Une

PROBABILITÉS GIS A DEVOIR MAISON La date limite de rendu du Devoir Maison est le mai à h La première partie porte sur des notions fondamentales du cours pour la suite de la formation La seconde partie permet d ? aller un peu plus loin Une attention particulière sera portée à la qualité de la rédaction et à la précision des réponses Toutes les variables aléatoires sont dé ?nies sur un même espace de probabilités F P L ? indicatrice d ? un ensemble A est notée IA Partie points Exercice Soit Xn n ? une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Poisson de paramètre Pour tout n ? on note n Sn Xk Tn Sn ?? ?? n n k Pour tout n ? quelle est la loi de Sn Pour tout n ? calculer les quantités E Tn et E Tn Montrer que la suite de variables aléatoires Tn n ? converge en loi vers une variable aléatoire T ? dont on donnera la loi Soit a On introduit la fonction fa dé ?nie pour tout x ?? R par fa x min x a Montrer que la fonction fa est continue et bornée sur R En déduire que E fa Tn ?? ? E fa T ? quand n tend vers ? Montrer que pour tout a et pour tout n ? on a E Tn ?? E T ? ? E Tn ?? fa Tn E T ? ?? fa T ? E fa Tn ?? fa T ? Pour toute variable aléatoire X telle que E X ? montrer que E X ?? fa X ? E X I X ? a ? EX P X ? a Indication Utiliser l ? égalité x ?? min x a x ?? a I x a En utilisant les questions et ainsi qu ? une inégalité de concentration du cours montrer que E Tn converge vers E T ? quand n tend vers ? C Question bonus Soit x max x En calculant E T ? et E Tn et en admettant que E Tn ?? ? E T ? quand n tend vers ? montrer la formule de Stirling ?? n ?? nne ??n ?n n ? ? Partie points Exercice Soient f une application continue de dans R et x ?? ?xé Pour tout n ? entier on note Snx une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n x Montrer que pour tout n ? l ? application pn dé ?nie pour tout x ?? par pn x E f Snx n est un polynôme en x On rappelle qu ? une fonction continue sur est uniformément continue sur ?? ?? ??x y ?? x ?? y ? ?? f x ?? f y ? En utilisant la continuité uniforme de f montrer que pour tout il existe tel que pour tout n ? et pour tout x ?? pn x ?? f x ? P Snx ??