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Td6 corrige 2 Sup ? Galilée MACS Année Analyse numérique - TD TD - Corrigé Méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires Méthode de Gauss et factorisation LU Exercice un exemple Soient ? ? P R On considère le système linéaire suivant d ? inc

Sup ? Galilée MACS Année Analyse numérique - TD TD - Corrigé Méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires Méthode de Gauss et factorisation LU Exercice un exemple Soient ? ? P R On considère le système linéaire suivant d ? inconnues x x x x x ? x ?? x x ? x ?? ? x ? x x ?? ? Écrire le système sous la forme Ax ?? b avec A P M pRq x P R et b P R que l ? on explicitera Est-ce que le système admet une unique solution pour tout ? ? P R Montrer que A admet une unique factorisation LU Dans la suite on choisit ?? ? ?? ? et ? ?? et on va résoudre le système Ax ?? b de plusieurs façons a Résoudre le système par l ? algorithme de Gauss sans pivot b Calculer la factorisation LU de A puis résoudre le système en utilisant cette factorisation LU c Résoudre le système par l ? algorithme de Gauss avec pivot partiel d Calculer la factorisation L U de PA o? P est la matrice produit des matrices de permutations e ?ectuées dans l ? algorithme de Gauss avec pivot partiel puis résoudre le système en utilisant cette factorisation Correction On a ? ? ? A ?? ? ?? ? ?x ? ? ? x ?? x ?? b ?? ? ?? x ? A et b étant les données et x P R le vecteur inconnu On calcule detpAq ?? ? donc A est inversible Le système admet donc une unique solution x ?? A ? b Pour tout b P R c ? est-à-dire pour tout ? ? P R On choisit ?? ? ?? ? et ? ?? Véri ?ons que A admet une unique factorisation LU D ? après le cours ou l ? exercice ci-dessous une condition su ?sante est que les sous matrices principales de A sont inversibles Ceci est bien le cas car detp ? q ?? detp q ?? ? detp ? q ?? det ?? ? et detp ? q ?? detpAq ? a Le fait que A admet une unique factorisation LU revient à dire que l ? on peut e ?ectuer l ? algorithme de Gauss sans pivot On regroupe A et b en ajoutant b à droite de A ? ? ? ? ? ? ? ? ??L ? L ? L ? L ? L ?L Ap q ?? A bp q ?? b ? ? Ap q ? ? ? ? ? ? ??L ? L L bp q Ap q ? ? ?? ? bp q En posant U ?? Ap q et c ?? bp q on est ramené à résoudre le système triangulaire supérieur Ux ?? c que l ? on résout par remontée x x x ?? ? ?? ? x x ? x ?? ? permet de calculer x x ?? ? ? permet de calculer x