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See discussions stats and author pro ?les for this publication at https www researchgate net publication Banque d'Épreuves des Concours des Écoles d'Actuariat et Statistique Épreuve de mathématiques Preprint May DOI RG CITATIONS author Idriss Olivier Bado INEXA PUBLICATIONS CITATIONS SEE PROFILE READS Some of the authors of this publication are also working on these related projects LANDAU S PROBLEM View project Sophie German conjecture View project All content following this page was uploaded by Idriss Olivier Bado on May The user has requested enhancement of the downloaded ?le CBÉCÉAS Banque d ? Épreuves des Concours des Écoles d ? Actuariat et Statistique Session Épreuve de mathématiques Durée h On note x la partie entière d ? un réel x On rappelle qu ? un nombre entier naturel au moins égal à est dit premier s ? il n ? est divisible que par et lui- même donc n ? est pas premier On note P l ? ensemble des nombres premiers On rappelle aussi que tout entier naturel n au moins égal à se décompose de façon unique à l ? ordre des facteurs près comme produit de nombres premiers c ? est-à-dire qu ? il existe r ?? N ? p p pr ?? P r et r ?? N ? r tels que r n p k k k Si a et b sont deux entiers naturels tels que a b la notation p désigne la somme apb p ??P des nombres p pour tous les entiers premiers p de l ? intervalle entier a b On dé ?nit de la même façon p p etc pb apb p ??P p ??P Par exemple p ou p ? ? ? p p p ??P p ??P Mathématiques Mercredi mai matin Page CBÉCÉAS Partie I - Préliminaires On établit dans cette partie quelques résultats préliminaires indépendants les uns des autres qui seront utilisés par la suite Soit n ?? N ? et f une fonction continue décroissante et positive de n ? dans R n On pose pour tout entier naturel n non nul Sn f k k n n a Montrer que la suite ?n n n de terme général ?n Sn ?? f t dt est monotone n et convergente b En déduire l ? existence d ? un réel noté C pour lesquels on a lorsque l ? entier n tend vers ? n ln ln n C o k k ln k ? c Établir la convergence de l ? intégrale t ln t dt et en déduire la convergence de la série k ln k ln k Montrer que la série de terme général est convergente k k ?? ? ln k On note K sa somme k k k ?? a Prouver pour tout entier naturel n au moins égal à l ? inégalité n ln k n ln n ?? n k b En déduire quand n tend vers ? l ? estimation ln n n ln n O n a