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1 UNIVERSITE PARIS 7 – DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES PREPARATION CAPES 200

1 UNIVERSITE PARIS 7 – DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES PREPARATION CAPES 2006 – 2007 NOMBRES REELS I. Préambule L’histoire des nombres réels remonte à l’antiquité grecque. A cette époque, seuls les entiers positifs ont le statut de nombre et une théorie des grandeurs permet de gérer le continu. Cette théorie, élaborée par Eudoxe au Vème siècle avant J.C. et reprise dans le livre V des Eléments d’Euclide, permet de comparer et additionner des grandeurs, de comparer et multiplier des rapports de grandeurs de même nature. L’unification du domaine numérique sera longue et difficile. Ce n’est qu’à la fin du XIXème siècle, avec « l’arithmétisation de l’analyse », que seront élaborées des constructions du corps des réels à partir des entiers et des rationnels. Dans les deux paragraphes suivants, sont présentées très brièvement deux d’entre elles : celle par les coupures de Dedekind (1872) et celle par les suites de Cauchy proposées par Heine et Cantor, elle aussi en1872. Pour plus de détails, et en particulier les preuves que l’on obtient bien un corps satisfaisant la propriété de la borne supérieure, vous pouvez vous référer à [1]. II. Construction par les coupures de Dedekind Une coupure est une partition du corps Q des rationnels en deux parties (non vides) A et B satisfaisant les conditions suivantes : 1. Tout élément de A est inférieur à tout élément de B. 2. B n’a pas de plus petit élément. L’ensemble des réels R est alors défini comme l’ensemble des coupures. On définit sur cet ensemble une relation d’ordre en posant : (A,B) ≤ (C,D) ssi A ⊆ C De même, on définit une addition et une multiplication en posant : (A,B) + (C,D) = (E,F) avec E = {s+s’ / s∈A et s’∈C} Si (A,B) ≥ 0 et (C,D) ≥ 0 , (A,B) x (C,D) = (E,F) avec : E = {s.s’ / s∈A, s ≥ 0, s’∈C, s’≥ 0}∪ Q - . On étend ensuite la multiplication à des réels de signe quelconque via la règle des signes. Exercice 1 : Montrer que R ainsi défini est un ensemble totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure. Exercice 2 : Montrer que Q peut être plongé dans R, que l’ordre et les opérations définis ci- dessus prolongent bien l’ordre et les opérations sur les rationnels. Exercice 3 : Montrer que R contient strictement Q modulo ce plongement. 2 III. Construction par les suites de Cauchy On considère l’ensemble S des suites de Cauchy de nombres rationnels muni des opérations d’addition et de multiplication usuelles et on définit sur cet ensemble la relation d’équivalence suivante : (un) ∼ (vn) ssi limn→∝ (un-vn) = 0 R est alors défini comme le quotient de S par cette relation d’équivalence. Exercice 4 : Montrer que Q peut être plongé dans R ainsi défini et que R contient strictement Q. Exercice 5 : Montrer que si (un) est une suite de Cauchy de rationnels qui ne tend pas vers 0, il existe un rationel a>0 tel que, pour N suffisamment grand, on ait soit : ∀n>N un<-a , soit ∀n>N un>a. En déduire l’existence d’un ordre total sur R prolongeant l’ordre des rationnels. Exercice 6 : Montrer que l’addition et la multiplication des suites de rationnels se prolongent à R. Exercice 7 : Montrer que R. satisfait la propriété de la borne supérieure. Le corps des nombres réels peut donc être construit et l’on notera que, quelle que soit la construction choisie, si l’on itère le processus, en prenant des coupures dans R. ou des suites de Cauchy de nombres réels, on ne rajoute rien à R. Mais le corps des nombres réels peuvent aussi faire l’objet d’une définition axiomatique. IV Définition axiomatique du corps des nombres réels On admet l’existence d’un corps R satisfaisant les axiomes suivants : 1. R est totalement ordonné. 2. R contient Q. 3. Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure. On peut démontrer que le corps R ainsi défini est unique à un isomorphisme près et que Q est dense dans R. En fait, pour tout réel non nul a, aQ est dense dans R ; on en déduit immédiatement que l’ensemble des nombres irrationnels est lui aussi dense dans R. Exercice 8 : Monter que R ainsi défini est archimédien, c'est-à-dire vérifie la propriété : ∀a>0 ∀b>0 ∃n∈N n.b > a En déduire que, pour tout nombre réel x, il existe un entier et un seul (appelé partie entière de x et noté E(x)) tel que : E(x) ≤ x < E(x)+1. La propriété 3 ci-dessus exprime la complétude de R. Cette complétude peut s’exprimer sous diverses formes équivalentes dans un corps K totalement ordonné, en particulier les suivantes : a) Toute partie non vide et minorée a une borne inférieure. b) Toute suite croissante majorée converge. c) Toute suite décroissante minorée converge. d) K est archimédien et l’intersection de toute suite décroissante de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0 est non vide et réduite à un point. e) K est archimédien et complet. 3 Exercice 9 : Montrer que les propriétés ci-dessus sont bien équivalentes à l’axiome de la borne supérieure. V Nombres réels et développements décimaux Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme : N 10k , avec N entier relatif et k≥0. Il s’ensuit qu’un nombre rationnel est décimal si et seulement si, mis sous forme irréductible, son dénominateur est de la forme : 2p.5q , avec p et q positifs ou nuls. Soit (an) une suite telle que a0 soit un entier naturel et les ai, pour i>0, soient des entiers compris entre 0 et 9 inclus. On lui associe la série de terme général an 10n. Cette série à termes positifs a un terme général majoré, pour n>0, par 1 10n-1 qui est le terme général d’une série géométrique convergente, donc elle converge vers un réel. a0,a1….an… est appelé le développement décimal illimité de ce réel. La généralisation aux réels négatifs est immédiate. Il résulte de ce qui précède que tout entier n a deux développements décimaux illimités : l’un pour lequel a0 = n et ai, pour i>0 est nul, l’autre pour lequel a0 = n-1 et ai, pour i>0 est égal à 9. On en déduit immédiatement que c’est aussi le cas pour tout nombre décimal, le développement se terminant par une infinité de 0 correspondant à l’écriture décimale usuelle et l’autre se terminant par une infinité de 9. On désigne souvent le second par le terme de développement décimal illimité impropre. Exercice 10 : Montrer que si un nombre réel admet plus d’un développement décimal, on est nécessairement dans le cas précédent : c’est un nombre décimal. Les réels non décimaux ont donc, eux, un seul développement illimité. La partie entière de a.10n, divisée par 10n, donne le développement tronqué à l’ordre n du réel a. Exercice 11 : Montrer qu’un nombre réel est rationnel si et seulement si il admet un développement décimal illimité périodique. Exercice 12 : Calculer la somme et le produit des nombres rationnels suivants : a = 3,565656… b= 0,653653653…. [1] C. Houzel (1996). Analyse Mathématique. Paris : Editions Belin. uploads/Litterature/ exercices-nombresreels.pdf