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Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP L’énoncé de cette épreuve,

Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la ﬁlière MP, comporte 4 pages. L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé d’un problème. Durée : 4 heures Problème Soit (A, +, ×, .) une K-algèbre, c’est-à-dire (A, +, ×) est un anneau et (A, +, .) est un K-espace vecto- riel, tel que ∀α ∈K, ∀(x, y) ∈A2, (α.x)×y = x×(α.y) = α.(x×y), avec K = R ou K = C. Soit ∥.∥une norme sur A, ∥.∥est appelée une norme sous-multiplicative de la K-algèbre A, si pour tout (x, y) ∈A2, ∥x × y∥≤∥x∥∥y∥. Dans tout le problème n et p désignent des entiers naturels non nuls, on rappelle que, Mn,p(K) est l’ensemble des matrices à coeﬃcients dans K ayant n lignes et p colonnes. Si n = p, alors Mn,p(K) est noté Mn(K) et on rappelle aussi que Mn(K), muni de ses opérations usuelles, est une K-algèbre. Pour toute matrice A de Mn(K), on note A0 = In et ∀n ∈N, An+1 = AAn, où In est la matrice identité de Mn(K). GLn(K) désigne le groupe des matrices inversibles de Mn(K). Partie I Etude de quelques normes sur Mn(K) On déﬁnit sur Mn(K) la norme notée ∥.∥∞, telle que ∀A = (ai,j)1≤i≤n, 1≤j≤n ∈Mn(K), ∥A∥∞= max 1≤i≤n, 1≤j≤n (|ai,j|). 1. Montrer que ∀(A, B) ∈(Mn(K))2, ∥AB∥∞≤n∥A∥∞∥B∥∞. 2. Soit N une norme sur Mn(K). a) On pose (Ej i )1≤i≤n, 1≤j≤n la base canonique de Mn(K). Soit X = (xi,j)1≤i≤n, 1≤j≤n ∈Mn(K). Montrer que N(X) ≤ Ã P 1≤i≤n, 1≤j≤n N(Ej i ) ! ∥X∥∞. b) i) Montrer que N est une fonction continue de Mn(K) muni de la norme ∥.∥∞vers R muni de la valeur absolue. ii) On pose S∞= {X ∈Mn(K); ∥X∥∞= 1}. Montrer qu’il existe X0 ∈S∞tel que pour tout X ∈S∞, N(X0) ≤N(X). iii) En déduire qu’il existe α > 0 tel que pour tout X ∈Mn(K), α∥X∥∞≤N(X). c) En déduire que toutes les normes de Mn(K) sont équivalentes. 3. Soit N une norme sur Mn(K) et soit (A, B) ∈(Mn(K))2. a) Montrer qu’il existe un réel strictement positif β tel que N(AB) ≤nβ∥A∥∞∥B∥∞. b) Montrer qu’il existe deux réels strictement positifs α et β tels que N(AB) ≤n β α2 N(A)N(B). c) En déduire qu’il existe un réel strictement positif γ tel que γN soit une norme sous- multiplicative sur Mn(K). _______________________________________ Epreuve de Mathématiques II _______________________________________ Page 1 / 4 _______________________________________ https://al9ahira.com/ Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP 4. Soit N une norme sur Mn,1(K), pour toute matrice A de Mn(K), on pose, ∥A∥= sup n N(AX) N(X) ; X ∈Mn,1(K) \ {0} o . a) i) Justiﬁer, pour tout A ∈Mn(K), l’existence de ∥A∥. ii) Montrer que, pour tout A ∈Mn(K), ∥A∥= sup {N(AX); X ∈Mn,1(K), N(X) = 1}. iii) Montrer que ∥.∥est une norme sur Mn(K). b) i) Montrer que, pour tout A ∈Mn(K) et pour tout X ∈Mn,1(K), N(AX) ≤∥A∥N(X). ii) En déduire que, pour tout (A, B) ∈(Mn(K))2, ∥AB∥≤∥A∥∥B∥. Partie II Suites de matrices On rappelle que si (Am)m∈N est une suite d’éléments de Mn,p(K) et si A ∈Mn,p(K), la suite (Am)m∈N converge vers A si la suite réelle (∥Am −A∥)m∈N converge vers 0, où ∥.∥est une norme donnée sur Mn,p(K), on écrit dans ce cas lim m→+∞Am = A. 1. Soit (Am)m∈N est une suite d’éléments de Mn,p(K) et soit A ∈Mn,p(K), on pose pour tout m ∈N, Am = (a(m) i,j )1≤i≤n, 1≤j≤p et A = (ai,j)1≤i≤n, 1≤j≤p. Montrer que la suite (Am)m∈N converge vers A si, et seulement si, pour tout (i, j) ∈N × N; 1 ≤i ≤n, 1 ≤j ≤p, la suite (a(m) i,j )m∈N converge vers ai,j. En cas de convergence, on écrit lim m→+∞Am = µ lim m→+∞a(m) i,j ¶ 1≤i≤n, 1≤j≤p . 2. Soit α un réel, on pose pour tout m ∈N∗, Am = Ã 1 −α m α m 1 ! . a) Montrer que pour tout m ∈N∗, il existe Cm ∈R et θm ∈[−π 2 , π 2 ] tels que, Am = Cm Ã cos θm −sin θm sin θm cos θm ! b) Déterminer lim m→+∞Am m. Partie III Séries de matrices Soit (Am)m∈N une suite d’éléments de Mn,p(K), on pose pour m ∈N, Sm = m P k=0 Ak. On dit que la série de terme général Am converge si la suite (Sm)m∈N des sommes partielles converge, sinon la série est dite divergente. En cas de convergence, la limite de la suite (Sm)m∈N se note +∞ P k=0 Ak. On dit que la série de terme général Am est absolument convergente, si la série numérique de terme général N(Am) converge, avec N une norme déﬁnie sur Mn,p(K). 1. Soit (Am)m∈N est une suite d’éléments de Mn,p(K), on pose pour tout m ∈N, Am = (a(m) i,j )1≤i≤n, 1≤j≤p. Montrer que la série de terme général Am converge si, et seulement si, pour tout (i, j) ∈N × N; 1 ≤i ≤n, 1 ≤j ≤p, la série de terme général a(m) i,j converge. En cas de convergence, on écrit +∞ P m=0 Am = µ +∞ P m=0 a(m) i,j ¶ 1≤i≤n, 1≤j≤p . 2. Montrer que toute série absolument convergente de Mn(K) est convergente. 3. Soit A une matrice non nulle de Mn(K) telle que P m∈N Am converge, montrer que +∞ P m=0 Am est inversible et déterminer son inverse. 4. On pose B = Ã 4 3 −5 6 5 3 −7 6 ! . _______________________________________ Epreuve de Mathématiques II _______________________________________ Page 2 / 4 _______________________________________ https://al9ahira.com/ Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP a) Montrer que P m∈N Bm est convergente et déterminer sa valeur. b) En déduire l’inverse de +∞ P m=0 Bm. Partie IV Exponentielle d’une matrice 1. Montrer que, pour toute matrice A de Mn(K), la série de terme général 1 m!Am, m ∈N, est convergente. Par la suite, on appelle l’exponentielle d’une matrice A de Mn(K), la matrice notée exp(A), telle que exp(A) = +∞ P m=0 1 m!Am. Dans toute la suite du problème, on note exp l’application déﬁnie sur Mn(K). 2. Soit S une matrice de Mn(K) telle que S2 = In. Déterminer exp(S) en fonction de In et de S. 3. a) Soit (A, B) ∈(Mn(K))2 tel que AB = BA. Montrer que exp(A + B) = exp(A) exp(B). b) En déduire que si A ∈Mn(K), alors exp(A) est une matrice inversible et déterminer son inverse en fonction de A. 4. On note, pour tout (βi)1≤i≤n ∈Kn, diag (βi)1≤i≤n, la matrice diagonale (ai,j)1≤i≤n, 1≤j≤n de Mn(K), telle que pour tout i, 1 ≤i ≤n, ai,i = βi. a) Montrer que ∀(αi)1≤i≤n ∈Kn, exp (diag(αi)1≤i≤n) = diag (eαi)1≤i≤n b) Montrer que ∀A ∈Mn(K), ∀P ∈GLn(K), exp(P −1AP) = P −1 exp(A)P. c) Soit T = (ti,j)1≤i≤n, 1≤j≤n ∈Mn(K) une matrice triangulaire supérieure, montrer que exp(T) = (t′ i,j)1≤i≤n, 1≤j≤n est aussi une matrice triangulaire supérieure telle que ∀i ∈{1, . . . , n}, t′ i,i = eti,i. d) Soit A ∈Mn(C), montrer que det(exp(A)) = eTr(A), où Tr(A) désigne la trace de la matrice A. 5. Soit A =    4 1 1 6 4 2 −10 −4 −2   , pour tout réel t, déterminer exp(tA). Partie V Application aux systèmes diﬀérentiels linéaires Soit M ∈Mn(K) et I un intervalle non trivial de R. 1. Montrer que la fonction f : I →Mn(K) déﬁnie par f(t) = exp(tM) est de classe C1 sur I et que ∀t ∈I, f′(t) = Mf(t) = f(t)M. 2. Soient t0 ∈I, A ∈Mn(K) et B : I →Mn,1(K)) une fonction continue. On considère le système diﬀérentiel suivant (S): Y ′ = AY + B. a) Montrer, en utilisant un changement de variable convenable, que: Y ′(t) = AY (t) + B(t) ⇔(exp(tA))z′(t) = B(t) b) En déduire que les solutions du système diﬀérentiel (S) sont exactement les applications de la forme: ∀t ∈I, Y (t) = Z t t0 exp ((t −u)A) B(u)du + (exp(tA))v, où v est un paramètre arbitraire de Kn. 3. On suppose, dans cette question, que A est une matrice diagonalisable de Mn(K) dont les valeurs propres sont λ1, λ2, . . . , λn (non nécessairement distinctes) et soit (V1, V2, . . . , Vn) une base formée de vecteurs propres telle que pour tout i, 1 ≤i ≤n, Vi est associé à λi. Montrer que la solution générale du système diﬀérentiel homogène Y ′ uploads/Litterature/ cnc-maths2-mp-2017e1.pdf