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Cc1 2021 Optimisation non-linéaire Année - Contrôle continu no - heure Consignes les deux exercices doivent être rédigés sur des copies séparées Les documents calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés ll est important d ? apporter une gr

Optimisation non-linéaire Année - Contrôle continu no - heure Consignes les deux exercices doivent être rédigés sur des copies séparées Les documents calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés ll est important d ? apporter une grande attention au soin et à la presentation justi ?cation et rédaction des réponses Le barème est indicatif et pourra subir des modi ?cations Si n ?? N ? on note n le produit scalaire euclidien de Rn et n la norme induite associée EXERCICE No points Soient n m ?? N ? et A ?? Mm n R On considère la fontion F dé ?nie pour tout x ?? Rn par F x Ax m Démontrer qu ? il existe M ?? S n R telle que pour tout x ?? Rn on a F x M x x n Montrer que F est de classe C ? sur Rn puis démontrer que ??F x M x pour tout x ?? Rn Que vaut Hess F x On introduit la fonction R ? R dé ?nie pour t ?? R par t F x ?? t d o? x ?? Rn et d ?? Rn sont ?xés On suppose que M d d n a Énoncer la règle de la cha? ne b Montrer que est C ? puis calculer t pour tout t ?? R c Expliquer pourquoi est une fonction polynomiale de degré au plus dont le coe ?- cient dominant devant le monôme t est M d d n d Étudier les variations de sur R EXERCICE No points On considère la fonction f R ? R dé ?nie pour tout x y ?? R par f x y x y ?? x et le problème inf f x y P x y ??R Démontrer qu ? il existe c et d ?? R tels que pour tout x y ?? R f x y ? c x y d Que peut-on en déduire pour le problème P Étudier la convexité de la fonction f f est-elle concave convexe ni l ? un ni l ? autre Résoudre l ? équation ??f x y puis résoudre le problème P C