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Controle analyse num 2019 g2

Exercice Filière GC EMSI-RABAT - Matière Analyse numérique Contrôle durée h min Professeur Mme BARKOUKI Houda Soit le système linéaire suivant F F x y ?? z F F x ?? y z m F F x y ?? z Trouver la valeur m ?? R pour laquelle ce système admet une solution après calculer la solution pour la valeur trouvée Soit e k x k ?? x l'erreur entre la solution approchée à l'itération k et la solution exacte Démontrer la relation entre e k et e B Expliquer la di érence entre la méthode de Jacobi et la méthode de Gauss Seidel Exercice On considère le système linéaire suivant F F F F x ?? x x x F F F F x ?? x x F F x x x ?? x F F F F ??x x x x ? ? ? ? ? Donner une condition de convergence de la méthode de Jacobi Est ce que Jacobi converge pour le système linéaire ci-dessus Pourquoi Donner l'algorithme de Jacobi Appliquer Jacobi pour calculer la solution de ce système pour les deux premières itérations k et k tel que x Calculer la matrice d'itération M ?? N pour la méthode de Jacobi C Exercice On considère la fonction f dé nie par f x cos x ?? x On se propose de séparer les racines de f en utilisant la méthode des approximations successives Trouver la fonction g tel que le problème f x est équivalent au problème g x x C C Monter que g admet un point xe unique s dans l'intervalle ? et déduire que s est la racine unique de la fonction Soit la précision de la méthode donner un test d'arrêt pour la méthode des approximations successives Calculer une solution approchée de s avec la précision ?? C