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Developpement limites edja kouame

DÉVELOPPEMENT LIMITÉS EDJA Kouamé CTable des matières Objectifs Introduction I - Dé ?nitions Formule de Taylor-Young II - Quiz III - Calcul du développement limité Développements limités au voisinage d'un point Opérations sur les développements limités IV - Quiz V - Applications des développements Calculs de limites Équation d'une courbe par rapport a sa tangente VI - Quiz Solutions des exercices Bibliographie Webographie CObjectifs Conna? tre la formule de Taylor-Young Calculer les développements limités des fonctions Utiliser les développements limités CDé ?nitions Dé ?nitions I Formule de Taylor-Young Pour n'importe quelle fonction nous allons trouver le polynôme de degré qui approche le mieux la fonction Les résultats ne sont valables que pour autour d'une valeur ?xée ce sera souvent autour de Ce polynôme sera calculé à partir des dérivées successives au point considéré Dé ?nition Soit un intervalle ouvert Pour entier non nul on dit que est une fonction de classe si est fois dérivable sur et est continue est de classe si est continue sur Théorème Formule de Taylor-Young Soit est une fonction de classe et soit Alors pour tout on a o? est une fonction dé ?nie sur telle que Notation Le terme se note souvent petit o ? de Cas particulier Formule de Taylor- Young au voisinage de On se ramène souvent au cas particulier o? la formule de Taylor-Young s'écrit alors la notation petit o ? donne Exemple Soit est in ?niment dérivable Nous allons calculer les formules de Taylor en pour les premiers ordres Tous d'abord Ensuite donc Ensuite donc donc donc on peut montrer par récurrence que donc d'o? la formule de Taylor en est CQuiz Exercice On considère une fonction Exercice Si est dérivable en tout point de elle est de classe sur ? Vrai ? Faux Exercice On choisit La fonction dérivée seconde de est une fonction constante ? Vrai ? Faux Exercice La formule de Taylor à l'ordre de en est ? ? ? Quiz II solution n p solution n p CCalcul du développement limité Calcul du développement limité III Développements limités au voisinage d'un point Dé ?nition On dit que admet un développement limité au voisinage du point et à l'ordre s'il existe des réels et tels pour tout ? L'égalité précédente s'appelle un de au voisinage de a à l'ordre n ? Le terme est appelé la partie polynomiale du ? Le terme est appelé le reste du NB Un développement limité voisinage du point et à l'ordre est noté Propriétés Si admet un alors ce est unique Si est paire resp impaire alors la partie polynomiale de son en ne contient que des monômes de degrés pairs resp impairs DL des fonctions usuelles au voisinage de devlimites pdf cf devlimites pdf Opérations sur les développements limités Somme et produit On suppose que et sont deux fonctions qui admettent des et admet un qui est - admet un qui est o? est le polynôme tronqué à l'ordre COpérations sur les développements limités Tronquer un polynôme à l'ordre n