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Resolution de l equation de la chaleur par la methode des differences finies 1

Résolution de l ? Equation de la Chaleur par la Méthode des Di ?érences Finies Encadré par Prof Hamid Elouardi Préparé par Elboutaybi Sara Bourras Ismail Rapport du Mini-Projet de l ? Aanalyse Numérique II Année Universitaire Génie Informatique CTable des matières Remerciement I Introduction II Méthode des di ?érences ?nies a Approximation des dérivées par la formule de Taylor b Maillage c Schéma Numérique d Condition aux limites et conditions initiales III Application a Etude Numérique b SchémaExplicite c Schéma Implicite d Schéma de CranckNicolson IV Programmation a Script pour le Schéma Explicite b Script pour le Schéma Implicite c Script pour le Schéma de CranckNicolson V Cas de Calcul a Solution exacte b Solution approchée par le schéma explicite c Solution approchée par le schéma implicite d Solution approchée par le schéma de CranckNicolson e Conclusion sur la stabilité et la convergence de ces méthodes VI Conclusion VII Références Remarque Nous avons choisi l ? outil matlab pour la programmation et la visualisation des solutions CRemerciements Avant d ? entamer ce rapport nous pro ?tons de l ? occasion pour remercier chaleureusement notre cher professeur M El Ouardi pour avoir crée cette occasion le mini-projet et nous permettre ainsi de voir nos acquis purement théoriques rencontrer le monde réel par le biais de la programmation Ce travail est le fruit de vos e ?orts et de votre générosité qui nous a surveillés partout et presque chaque semaine via l ? adresse électronique I Introduction L ? analyse numérique est une discipline des mathématiques Elle s ? intéresse tant aux fondements théoriques qu ? à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre par des calculs purement numériques des problèmes d ? analyse mathématique Plus formellement l ? analyse numérique est l ? étude des algorithmes permettant de résoudre les problèmes de mathématiques continues distinguées des mathématiques discrètes Cela Csigni ?e qu ? elle s ? occupe principalement de répondre numériquement à des questions à variable réelle ou complexe comme l ? algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes la recherche de solution numérique d ? équations di ?érentielles et d ? autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l ? ingénierie Dans le domaine de l'analyse numérique on peut être amené à rechercher la solution d'une équation aux dérivées partielles Parmi les méthodes de résolutions couramment pratiquées la méthode des di ?érences ?nies est la plus facile d'accès puisqu'elle repose sur deux notions la discrétisation des opérateurs de dérivation di ?érentiation assez intuitive d'une part et la convergence du schéma numérique ainsi obtenu d'autre part En mathématiques et en physique théorique l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique introduite initialement en par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique II Méthode des di ?erences ?nies Parmi les méthodes de résolution la méthode des di ?érences ?nies qui repose sur deux notions la discrétisation des opérateurs de dérivation di ?érentiation par di ?érences ?nies d'une part et la