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chapitre1 rappels mathematiques

Fodil HAMMADI Chapitre Rappels mathématiques Dans ce chapitre introductif on présente quelques notions mathématiques issues de l ? analyse vectorielle et l ? analyse tensorielles Contenu Généralités Notations Notion de tenseur Opérateurs di ?érentiels Notations Convention de sommation ou convention d ? Einstein ? v ? v e ? v e ? v e ? v iei i ? n ? S ? a b ? a b ? a b ? ? anbn ? aibi i ? ? C ? c ? c ? c ? cii i ? En utilisant la convention de sommation ou convention d ? Einstein les relations ci-dessus peuvent s ? écrivent ? v ? v e ? v e ? v e ? v i ei ? v iei i ? n ? s ? a b ? a b ? a b ? ? anbn ? ai bi ? ai bi i ? ? c ? c ? c ? c ? cii ? cii i ? ? Dans ces expressions on a enlevé le symbole Lorsqu ? un indice est répété fois dans un même monôme ça implique une somme sur l ? indice répété Cet indice est appelé indice muet Un indice non muet est appelé un indice franc ou libre Dérivées partielles u i ? u x i v ij ? v x i x j w iij ? w x i x j Symbole de Kronecker Le Symbole de Kronecker Kronecker Delta est une grandeur à indices noté par ? ij est dé ?ni par CFodil HAMMADI ? ij ? ? ?? ? si i ? j si i j C ? est à dire ? ? ? et ? ? ? ? ? ? En forme matricielle le Kronecker Delta est la matrice identité dé ?nit en fonction des indices libres i et j Par exemple si i et j varient de à ? ij est donné par la matrice de la forme ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ij I ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? Propriétés du symbole ? Symétrie ? ij ? ji Trace ? ii ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Produit avec un vecteur ? ij vj vi ? ij vi vj Produit avec un matrice ? ij ajk aik ? jk aik aij Produit scalaire des vecteurs unitaires ei e j ? ? ij ei ? ij ? e j Trace d ? une matrice ? ij Aij ? Aii ? A jj ? A ? A ? A Notion de tenseur Les tenseurs sont la généralisation des scalaires des vecteurs et des matrices Un tenseur est un opérateur mathématique qui désigne une quantité physique La description d ? un tenseur dépend du repère de référence utilisé Dans le cas tridimensionnel d il se caractérise par son ordre n Rang et contient n composantes Tenseur d ?