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Chap 15 Chapitre Polynômes Objectifs ?? Dé ?nir la notion de polynômes étudier la structure de K X ?? Dé ?nir la notion de degré d ? un polynôme et étudier l ? algorithme de la division euclidienne ?? Dé ?nir la notion de substitution dans un polynôme Abo

Chapitre Polynômes Objectifs ?? Dé ?nir la notion de polynômes étudier la structure de K X ?? Dé ?nir la notion de degré d ? un polynôme et étudier l ? algorithme de la division euclidienne ?? Dé ?nir la notion de substitution dans un polynôme Aborder la notion de racine de polynômes scindés et le théorème de D ? Alembert ?? Établir la formule de TAYLOR Sommaire I Dé ?nition d ? un polynôme Dé ?nition Opérations sur les polynômes Écriture dé ?nitive des polynômes II Division euclidienne Degré d ? un polynôme Algorithme de la division euclidienne Divisibilité III Fonctions polynomiales racines Substitution Fonctions polynomiales Racines d ? un polynôme Corps algébriquement clos Relations racines coef ?cients IV Formule de Taylor des polynômes Dérivation des polynômes Formule de Taylor V Exercices Dans tout ce chapitre K désigne un sous-corps de C I Dé ?nition d ? un polynôme Dé ?nition DÉFINITION On appelle polynôme à coef ?cients dans K toute suite d ? éléments de K nulle à partir d ? un certain rang Les termes d ? une telle suite sont appelés co ef ?cients du polynôme et la suite nulle est appelée polynôme nul Si tous les termes sont nuls sauf un le polynôme est appelé monôme Si tous les termes sont nuls à partir de l ? indice on dit que le polynôme est constant L ? ensemble des polynômes à coef ?cients dans K est noté K X MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http pagesperso-orange fr Fradin Patrick CDé ?nition d ? un polynôme Chapitre Polynômes On a donc K X un ?? F N K ?? N ?? N n N ?? un Deux polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coef ?cients égalité de deux suites F F F F Polynômes particuliers a Pour k ?? N on note ?k le polynôme dé ?ni par ?k ?k n o? ? F F k n si n k sinon symbole de Kr? - necker Par exemple on a ? ? b On pose X ? ce polynôme est appelé indéterminée de K X il peut être nommé par une autre lettre Y Z T U mais il s ? agit toujours du polynôme ? Opérations sur les polynômes DÉFINITION Somme et produit par un scalaire On pose P Q an bn somme des deux suites et pour ? ?? K on pose ? P ?an On dé ?nit ainsi une addition interne dans K X et un produit par les scalaires Propriétés On a en fait repris l ? addition de F N K et le produit par un scalaire on sait que pour ces opérations F N K est un K-e v or K X ? F N K et la suite nulle est un polynôme on en déduit que K X est un K- e v DÉFINITION Produit de deux polynômes n On pose P? Q cn o? la suite cn est dé ?nie par cn ak bn ??k On