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Chap25 fct num a 2 variables

Chapitre Fonctions numériques de deux variables réelles Dans tout ce chapitre on s ? intéressera aux fonctions dé ?nies sur une partie R à valeurs dans R I Limites et continuité A Topologie de R On notera ? x y ? x y la norme euclidienne de R Elle va remplacer la valeur absolue des réels et le module des complexes dans les dé ?nitions de limite et de continuité Dé ?nition Soient a ?? R et r ?? R ? On appelle boule de centre a et de rayon r la partie de R suivante B a r u ?? R ? u ?? a ? r On l ? appelle également boule ouverte pour la distinguer de la boule fermée dé ?nie ainsi BF a r u ?? R ? u ?? a ? ? r Remarque En dimension une boule resp ouverte ou fermée est un intervalle resp ouvert ou fermé Le concept de boule est la traduction de celui d ? intervalle aux dimensions supérieures n ? Dans ce chapitre on ne traite que du cas n donc les boules sont en fait des disques Dé ?nition On dit qu ? une partie A de R est ouverte lorsque elle contient au moins une boule ouverte centrée en chacun de ses points Ou encore symboliquement A est ouverte dans R ? ?? ?? a ?? A ?? ?? R ? B a ? A On dit également que A est un ouvert de R Exemples Les boules ouvertes R ? ? R tout demi-plan ouvert I ? J o? I et J sont deux intervalles ouverts de R sont toutes des parties ouvertes de R A l ? inverse a b ? c d n ? est pas ouvert a b ? c d non plus Exercice Démontrer que la réunion de deux ouverts de R est encore un ouvert de R Peut-on généraliser ce résultat à une réunion quelconque Démontrer que l ? intersection de deux ouverts de R est encore un ouvert de R Peut-on généraliser ce résultat à une intersection quelconque Considérer la famille An ?? n CDé ?nition Soient f R ? R et M x y ?? R On appelle applications partielles associées à f en M les applications fy x ? f x y et fx y ? f x y Remarque Pour dé ?nir ces applications partielles on ?xe une des deux variables et l ? application partielle dépend de l ? autre variable Ce sont des restrictions de f sur les droites parallèles aux axes passant par M F F F F F F xy Exemple Soit f R ? R dé ?nie par f x y x y Pour M les applications partielles sont si x y si x y fy R x ? ? R f x et fx R y ? ? R f y Ces applications partielles sont donc nulles sur R Or ?? ? ?? R f ? ? ?? donc f n