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Dilution professeur Fiche professeur PREMIER PROBLEME Un bassin contient un volume V égal à L d ? eau dans lesquels sont dissous kg de sel On réalise l'expérience de dilution décrite ci-dessus avec un débit d'arrivée d'eau pure et un débit d'évacuation du

Fiche professeur PREMIER PROBLEME Un bassin contient un volume V égal à L d ? eau dans lesquels sont dissous kg de sel On réalise l'expérience de dilution décrite ci-dessus avec un débit d'arrivée d'eau pure et un débit d'évacuation du mélange identiques d L min Le mélange est considéré à tout instant homogène Au bout d ? une heure quelle quantité de sel reste-t-il dans le bassin Approche par les suites modèle discret On décompose une heure en n étapes de durée T minutes n On peut prolonger évidemment l'expérience au-delà d'une heure Premier modèle discret Au cours de chaque étape on ferme l'arrivée d'eau pure - on laisse s'écouler le mélange par l'évacuation avec un débit constant d la concentration en sel reste alors constante pendant l'évacuation - on rajoute instantanément l'eau pure On note Sk la quantité de sel en kg présente dans le bassin à la ?n de la k- ième étape avec S On note Ck la concentration de sel en kg L mesurée à la ?n de la k-ième étape avec Ck Sk V o? V L On ferme l'arrivée d'eau pure et on ouvre le robinet d'évacuation La concentration Ck reste constante dans le bassin et dans le liquide évacué Le volume de solution qui s'écoule pendant T minutes est d ? T en litres avec les données du problème il faut prendre n sinon on vide le bassin La quantité de sel évacué est donc de ? Ck ? d ? T Sk V ? d ? T A la ?n de la k -ième étape il reste donc Sk Sk ?? Sk ? d V ? T Sk ?? d T V kg de sel On reconna? t la dé ?nition d'une suite géométrique de raison ?? d T V Alors Sk S ? ?? d T V k pour tout entier k supérieur o? égal à Avec les données du problème Sk ? ?? T k ? ?? T k pour k ? o? T n et n Au bout d'une heure k n et Sn ? ?? T n CQuelques exemples Si T min alors n et S ?? kg soit environ g Si T min secondes alors n et S ?? kg soit environ g Si T min seconde alors n et S ?? kg soit environ g A ce stade on peut faire remarquer à des élèves de première que le résultat semble tendre vers une valeur proche de g Au niveau terminale S Sn ? ?? n n n ln ?? ? e n ln X on pose X ?? alors n n ?? X et n lim ? ? S n lim ? e X ? ?? X ? e ?? ?? kg en utilisant lim ln X ?? ln nombre dérivé de la fonction ln en X ? X ?? On obtient alors une valeur limite au bout d'une heure d'environ g proche de S Deuxième modèle discret Au cours de chaque étape on