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Hx1 bizuth chapitre 0 MPSI Guillaume Deslandes Chapitre Raisonnements et rédactions Un des objectifs de l'année est d'apprendre à raisonner et surtout à rédiger car la rédaction est la seule trace du raisonnement sur la copie A l faut toujours sauf mentio

MPSI Guillaume Deslandes Chapitre Raisonnements et rédactions Un des objectifs de l'année est d'apprendre à raisonner et surtout à rédiger car la rédaction est la seule trace du raisonnement sur la copie A l faut toujours sauf mention explicite du contraire justi ?er rédiger ses réponses Exemple A la question la fonction f est-elle dérivable en il faut justi ?er sa réponse Répondre sinplement oui ne rapportera aucun point même si c'est la bonne réponse I Logique Connecteurs logiques Vocabulaire On appelle proposition ou assertion mathématique une a ?rmation bien dé ?nie qui est soit vraie soit fausse théorème une proposition vraie qui a été démontrée lemme un théorème servant à établir un théorène plus important corollaire un théorème qui est une conséquence d'un autre théorème conjecture ou problème ouvert une proposition qu'on pense vraie mais qui n'a pas encore été démnontrée axiome une propositions supposée vraie Exemple Les a ?rmations suivantes sont des propositions mathématiques vraie Tout entier peut s'écrire comme la somme de deux carrés d'entiers fausse est un contre-exemple I existe une in ?nité de nombres premiers jumeaux espacés de deux unités c'est une conjecture Remarque I ne faut pas penser que les mathématiques sont terminées il existe à l'heure actuelle des milliers de conjectures en mathématiques A ou un milliard est un grand nombre ne sont pas des propositions mathématiques la première n'a aucun sens la seconde est mal dé ?nie Remarque Une proposition peut dépendre d'une variable on parle alors de prédicat Exemple Soit r un réel P r a r est un prédicat Dé ?nition et ou Soient P et Q deux propositions on dé ?nit les propositions P et PAQ que se lit P et Q vraie quand Q sont vraies et fausse sinon PvQ qui se lit P ou Q vraie quand au moins une des deux propositions est vraie et fausse sinon Table de vérité des connecteurs A et V P Q PAQ PvQ V F FF Fv F PF Lycée Stanislas CMPSI Guillaunne Drslann A Le ou mathématique n'a pas le même sens que le ou en français expression fromage ou dessert signi ?e que l'on peut prendre du fromage ou du dessert mais pas les deux On parie de ou exchusif Dans la phrase J'aimerais devenir chanteur ou acteur de cinéna on ainerait aussi devenir les deux On parle de ou inclusif Le ou français peut ètre exclusif ou inclusif alors que le ou mathématique est toujours inclusit Remarque A et V sont commutatifs au sens o? PAQ équivaut à QAP et PvQà QVP Proposition Soient P Q R trois propositions On a PAQ vR équivaut àa Pv R A Qv R PvQ AR équivaut à P A R v QA R Preuve Ecrire les tables de vérités Négation Dé ?nition négation Soit P une proposition on Vraie quand P est fausse et dé ?nit la négation de P notée fausse quand P est vraie -P qui se lit non P par la proposition qui est Tables de vérité