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Resume15 espaces prehilbertiens

MP du lycée Berthollet Résumé Espaces préhilbertiens Dans tout ce cours E sera un R ?? espace vectoriel de dimension n ?? N ? I ESPACES PRÉHILBERTIENS Soit E un espace vectoriel réel On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique dé ?nie positive sur E que l ? on note généralement Ici ??positive ? signi ?e que pour tout x ?? E x x et ??dé ?nie ? signi ?e que pour tout x ?? E si x x alors x E On dit que E est un espace préhilbertien S ? il est de plus de dimension ?nie il est dit euclidien Puisque la forme bilinéaire est positive on peut poser ?? ??x ?? E x x x que l ? on appelle norme euclidienne ou hilbertienne de x associée au produit scalaire Elle véri ?e pour tous x y ?? E x y x y ?? x ??y x y x y x y Identité de polarisation Identité d ? Al-Kachi La première de ces deux égalités prouve qu ? il y a une bijection entre les normes euclidiennes et les produits scalaires Inégalité de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Soient x et y deux vecteurs de E Alors x y x ? y De plus on a l ? équivalence entre l ? egalité x y x ? y la colinéarité entre x et y Le signe de x y est alors égal au signe du coef ?cient de colinéarité Inégalité de Minkowski Soient x et y deux vecteurs de E On a l ? égalité x y x y avec égalité si et seulement si x et y sont positivement colinéaires Le théorème de représentation de Riesz Résumé Espaces préhilbertiens http mpberthollet wordpress com Si E est un espace euclidien pour toute forme linéaire E ? R il existe un unique vecteur x ?? E tel que pour tout x ?? E x x x EXEMPLES Le produit scalaire usuel sur Rn n X Y ?? Rn ? xiyi ?? R i Le produit scalaire usuel sur Mn p R M N ?? Mn p R ? Mn p R ? Trace tM N On remarque que ce produit scalaire est le p s dé ?ni ci-dessus lorsque l ? on identi ?e l ? espace des matrices à l ? espace des vecteurs de Rnp i e np Trace tM N mi j ni j i j En utilisant les propriétés de la trace on peut prouver que toute matrice symé- trique est orthogonale aux matrices antisymétriques Soit E L I R l ? espace des fonctions intégrables sur l ? intervalle I à valeurs réelles L ? application f g ?? E ? E ? f t g t dt I est un produit scalaire sur E L ? espace N des suites réelles telles que u n est convergente est muni d ? un ? n produit scalaire u v unvn n II ORTHOGONALITÉ Ici E est un espace préhilbertien sur K R ou