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Td2 corrige pdf Ecole Mohammadia d'Ingénieurs Département Génie Industriel Travaux dirigés de méthodes numériques Série Résolution numérique d'équations non linéaires Corrigé Méthode du point ?xe modi ?ée L'itération à l'aide de la méthode du point ?xe s'

Ecole Mohammadia d'Ingénieurs Département Génie Industriel Travaux dirigés de méthodes numériques Série Résolution numérique d'équations non linéaires Corrigé Méthode du point ?xe modi ?ée L'itération à l'aide de la méthode du point ?xe s'écrit En prenant comme valeur initiale x on a x x x x x - - xn xn ?? x - La méthode du point ?xe diverge les valeurs des itérées oscillent entre et - On pose x x g x ?? x x x ?? x x g x ?? x ?? g x ?? x Ayant ?? on doit donc avoir g x ?? x et donc g x x et l'on peut donc conclure que la solution de l'équation x x est la même que celle de l'équation g x x à résoudre La meilleure convergence de la méthode du point ?xe étant obtenue lorsque la dérivée de la fonction est nulle donner l'expression de véri ?ant cette condition pour la fonction En imposant à la fonction de s'annuler pour x xs on peut donc écrire ' xs Or ' x g' x ?? on en tire ' x ?? g' x ?? Et donc pour ' xs on a ?? g' xs ?? Etant donné que xs est la valeur recherchée une telle condition ne peut donc être imposée à a On prend alors ?? g' xn ?? xn xn xn g xn ?? xn xn ?? g xn ?? xn g' xn ?? On remarquera qu'en posant f x g x -x f' x g x - et cette méthode est donc équivalente à la méthode de Newton Appliquer la méthode du point ?xe modi ?ée pour résoudre la même équation dans les mêmes conditions Conclure x - - - - - g x - - - - - g' x g x -x - - - - - E- - E- C Pour x x ?? x g x g x -x - - - x - - - - - - - g x - - - - - - - g' x - - - - - - - g x -x - E- Les deux variantes de la méthode convergent vers deux solutions di ?érentes Elles ne sont donc pas équivalentes Méthode de Newton xn xn ?? f xn f ' xn xn ?? xn ?? xn xn ?? x - x f x f' x - - - - - - - - E- - - E- - x x f x f' x E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- E- On remarque que pour arriver à des convergences similaires la deuxième racine qui est d'ordre de multiplicité nécessite beaucoup plus que la deuxième qui elle est une racine simple Voir exercice suivant C Convergence Si une suite xn n converge vers xs on a alors lim n ? ? xn ?? xs lim