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Algebre chap 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers rationnels réels et complexes sont supposés connus au moins de manière intuitive comme cela se p

Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers rationnels réels et complexes sont supposés connus au moins de manière intuitive comme cela se passe au Lycée Nous reviendrons plus loin sur les constructions de ces ensembles Quelques notions de logique Nous allons préciser à un premier niveau quelques notions mathématiques qui sont relative- ment intuitives mais nécessitent quand même des dé ?nitions rigoureuses L ? idée étant de préciser schématiquement comment se présente une théorie mathématique ainsi que la notion essentielle de démonstration La première notion est celle d ? assertion De manière intuitive une assertion est un énoncé mathématique aussi rigoureux que possible qui ne peut prendre que deux valeurs de vérité à savoir vrai ? ou faux ? mais jamais entre les deux comme dans le langage courant Une assertion qui est toujours vraie est une tautologie ?? Par exemple les énoncés suivantes sont des assertions elle est vraie est un nombre rationnel elle est fausse cos n ? ?? n vraie Deux assertions sont dites logiquement équivalentes ou plus simplement équivalentes si elles sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses Il y a ensuite les énoncés qui se démontrent Pour ce faire on se donne des règles précises que nous verrons par la pratique qui permettent de construire de nouvelles assertions à partir d ? assertions données Remarque Il ne faut pas croire que dans une théorie donnée toute assertion P soit obligatoirement démontrable En Kurt G? del à démontré qu ? il y a des assertions non démontrables on dit aussi qu ? elles sont indécidables il n ? est pas possible de démontrer que P est vraie ni que P est fausse À la base de toute théorie mathématique on dispose d ? un petit nombre d ? assertions qui sont supposés vraies à priori c ? est-à-dire avant toute expérience et que l ? on nomme axiomes ou postulats Ces axiomes sont élaborés par abstraction à partir de l ? intuition et ne sont pas déduits d ? autres relations Par exemple la géométrie euclidienne est basée sur une quinzaine d ? axiomes L ? un de ces axiomes est le postulat numéro qui a ?rme que par un point donné passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée C Éléments de logique et de théorie des ensembles Une autre exemple important est donné par la construction de l ? ensemble noté N des entiers naturels Cette construction peut se faire en utilisant les axiomes de Peano suivants ?? est un entier naturel ?? tout entier naturel n a un unique successeur noté n ?? deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux ?? une partie P de N qui contient et telle que si n est dans P alors le successeur de n y est aussi est égale à N axiome de récurrence Nous reviendrons au paragraphe sur l ? ensemble N en partant