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Ans Les in ?nitésimaux en analyse non standard Le calcul in ?nitésimal à fait son apparition au XVIIème siècle notamment sous l ? impulsion du mathématicien allemand G Leibniz Son objectif était d ? adjoindre aux nombres réels des quantités in ?niment pet

Les in ?nitésimaux en analyse non standard Le calcul in ?nitésimal à fait son apparition au XVIIème siècle notamment sous l ? impulsion du mathématicien allemand G Leibniz Son objectif était d ? adjoindre aux nombres réels des quantités in ?niment petites et d ? autres in ?niment grandes a ?n de manipuler au mieux le concept de passage à la limite Au XIXème siècle une dé ?nition précise et rigoureuse de la notion de limite dé ?nition attribuée au mathématicien français A Cauchy éclaircit le ce concept et fait par conséquent dispara? tre les quantités in ?nitésimales jusqu ? alors manipulées Ces derniers font néanmoins leur retour en suite aux grands progrès réalisés en logique mathématique En e ?et cette année là le mathématicien américain A Robinson publie Non-Standard Analysis ? il y construit une extension de o? ?gurent des quantités in ?niment petites à partir desquelles il reconstruit l ? analyse moderne Nous allons présenter ici une démarche qui permet de construire cette extension de dont les éléments seront appelés nombres hyperréels Nous verrons ensuite comment s ? y traduit le calcul in ?nitésimal puis le principe de transfert qui permet d ? exploiter les nombres hyperréels en vue de l ? étude des fonctions réelles Ultra ?ltre sur N Le point de départ de notre construction est la notion d'ultra ?ltre On appelle ultra ?ltre sur un ensemble E tout ensemble U formé de parties de E véri ?ant les axiomes suivants a ? ?? U b ??A B ?? U A ?? B ?? U c ??A ?? U ??B ?? P E A ? B ?? B ?? U d ??A ?? P E A ?? U ?? E A ?? U L'axiome du choix assure l'existence d'ultra ?ltres sur l'ensemble des entiers naturels ultra ?ltre ne contenant aucune partie ?nie Malheureusement nous ne savons pas en exhiber Cela n'a guère d'importance il en existe cela su ?ra Dans la suite de notre étude nous supposons nous être donné un tel ultra ?ltre U sur A ?n d ? adopter un vocabulaire imagé bien qu ? approximatif on convient de dire qu ? une propriété P n est véri ?ée à l ? in ?ni ? lorsqu ? elle l ? est au moins pour tout n d ? une partie A de l ? ultra ?ltre U Les nombres hyperréels Nous formons une extension notée de l'ensemble des nombres réels à partir de l ? ensemble des suites réelles On dit que deux suites réelles un et vn sont équivalentes lorsque l ? égalité un vn est véri ?ée à l ? in ?ni Par exemple deux suites égales à partir d ? un certain rang sont équivalentes On identi ?e entre elles les suites équivalentes pour former des objets appelés nombres hyperréels et on note l ? ensemble formé par ceux-ci Ainsi un hyperréel est représenté par une suite xn et toute suite yn équivalente à xn représente le même hyperréel celui est