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Arith zn pdf Propriétés de Z nZ Louis Nebout Le but de ce cours est de présenter le point du vue moderne sur l ? arithmétique issu de l ? algèbre Rien de ceci n ? est of ?ciellement au programme des olympiades et une partie des résultats vous est certaine

Propriétés de Z nZ Louis Nebout Le but de ce cours est de présenter le point du vue moderne sur l ? arithmétique issu de l ? algèbre Rien de ceci n ? est of ?ciellement au programme des olympiades et une partie des résultats vous est certainement déjà connue sous une formulation di ?érente mais une bonne connaissance de cette théorie permet de mieux comprendre ce qui se passe et de prouver quelques résultats très puissants L ? anneau Z nZ Soit n un entier naturel Quelle est précisement la nature de la formule a ?? b n Ce n ? est pas une vraie égalité cela veut dire qu ? il existe une certaine relation d ? équivalence la relation de congruence pour laquelle a et b sont en relation Maintenant si a ?? b n et c ?? d n on sait bien que a c ?? b d n et de même avec la multiplication Ainsi cette relation possède en fait des propriétés tout à fait similaires à l ? égalité et on aimerait bien dire que on peut additionner et multiplier les modulo ? mais cette phrase n ? a aucun sens mathématique Pour lui donner du sens on aimerait bien la transformer ? en une véritable égalité en faisant de deux entiers congrus modulo n un seul et même nombre ? Si x est un entier on appelle classe d ? équivalence de x modulo n l ? ensemble des entiers congrus à x modulo n On note x la classe de x Attention si x ?? y mod n alors x et y sont deux notations pour un seul et même objet On obtient exactement n classes d ? équivalence n ?? et on note Z nZ l ? ensemble de ces classes d ? équivalence On munit Z nZ de deux opérations et ? en posant x y x y et x ? y x ? y Il y a une subtilité il faut prouver que ces opérations sont bien dé ?nies c ? est-à-dire que les résultats de ces opérations ne dépendent pas des choix des représentants x et y de x et y par exemple pour que si x x at y y alors x y x y c ? est une simple reformulation du fait que la relation de congruence est compatible avec les opérations La construction de Z nZ peut para? tre conceptuellement dif ?cile la première fois qu ? on la voit mais en fait la manipulation de cet ensemble est très simple en pratique écrire x y z est rigoureusement équivalent à écrire x y ?? z mod n par exemple Pour passer d ? une écriture à l ? autre on enlève les barres et on remplace l ? égalité par une relation de congruence Mais l ? énorme avantage conceptuel de l ? utilisation de Z nZ est dans le cas de Z Z par exemple le fait que et sont un seul et