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Bases de la logique44 Ressources mathématiques Documents pour la math sup Accéder à mon compte Accéder à ma feuille d'exercices Résumé de cours bases de la logique Propositions Une proposition ou assertion est un énoncé mathématique qui a une et une seule

Ressources mathématiques Documents pour la math sup Accéder à mon compte Accéder à ma feuille d'exercices Résumé de cours bases de la logique Propositions Une proposition ou assertion est un énoncé mathématique qui a une et une seule valeur vrai ou faux La négation de la proposition est la proposition qui est vraie si et seulement si est fausse Elle est notée Si et sont deux propositions et est la proposition qui est vraie si et seulement si et sont toutes les deux vraies Si et sont deux propositions ou est la proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions ou est vraie L'implication est la proposition Pour démontrer on suppose que est vraie et on démontre que est vraie On dit que les proposition et sont équivalentes lorsque l'on a à la fois et qui sont vraies On note alors Quanti ?cateurs Le quanti ?cateur pour tout ou quel que soit est noté La proposition est vraie lorsque pour tout la proposition est vraie Le quanti ?cateur il existe au moins un est noté La proposition est vraie lorsqu'il existe au moins un telle que la proposition soit vraie Le quanti ?cateur il existe un unique est noté La proposition est vraie lorsqu'il existe un unique telle que la proposition soit vraie La négation de est La négation de est Conditions nécessaires conditions su ?santes Lorsque on dit que est une condition su ?sante à et que est une condition nécessaire à Méthodes de raisonnement par implication pour prouver que on suppose que est vraie et on utilise di ?érentes propriétés déjà connues pour établir que est vraie par double implication par équivalence Pour démontrer que il y a deux méthodes standard On raisonne par double implication on suppose d'abord que est vraie et on Cdémontre que est vraie Ensuite on suppose que est vraie et on démontre que est vraie On passe de à en utilisant uniquement des équivalences C'est une méthode souvent déconseillée car il faut faire très attention à ce que chaque encha? nement logique de la démonstration est bien une équivalence par contraposée pour démontrer que il su ?t de démontrer la contraposée de cette proposition c'est-à-dire par l'absurde pour démontrer que on peut supposer que et sont toutes les deux vraies et obtenir une contradiction par récurrence Le raisonnement par récurrence est utilisé pour démontrer des propriétés qui dépendent d'un entier Il est basé sur le principe suivant Théorème principe de récurrence Soit une propriété concernant un entier naturel On suppose que est vraie et que pour tout entier naturel si est vraie alors est vraie Alors la propriété est vraie pour tout entier naturel Pour bien rédiger une démonstration par récurrence il est nécessaire de faire apparaitre clairement les étapes dé ?nir précisément quelle est la propriété que l'on souhaite démontrer écrire la phase d'initialisation la phase d'hérédité puis la conclusion Il existe deux erreurs fréquentes de rédaction de la phase d'hérédité commencer cette phase par la