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Capes 2013 epreuve 1 1 A P M E P CAPES épreuve session Problème nombres irrationnels L ? ensemble des nombres rationnels est noté Q p On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s ? écrire sous la forme o? p et q q sont des entiers relatifs premier

A P M E P CAPES épreuve session Problème nombres irrationnels L ? ensemble des nombres rationnels est noté Q p On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s ? écrire sous la forme o? p et q q sont des entiers relatifs premiers entre eux Un nombre réel est dit irrationnel s ? il n ? appartient pas à Q Dans ce problème on se propose de démontrer l ? irrationalité de quelques nombres réels Les trois parties de ce problème sont indépendantes Partie A quelques exemples de nombres irrationnels Soit n un entier naturel Démontrer que si n n ? est pas entier alors il est irrationnel En déduire que si p désigne un nombre premier alors p est irrationnel Démontrer que le nombre ln ln est irrationnel On rappelle que e n k k On se propose de démontrer que le nombre e est un nombre irrationnel Pour cela on fait l ? hypothèse qu ? il existe p et q entiers naturels non nuls tels que e p et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction q Pour tout entier naturel n on pose n un k k et v n un n ? n a Démontrer que les suites un n ??N et vn n ??N sont adjacentes puis montrer que uq e vq b Aboutir à une contradiction en multipliant les termes de cet encadrement par q ? q Partie B une preuve de l ? irrationalité de ? On se propose ici de démontrer que le nombre ? est un nombre irrationnel Pour cela on fait l ? hypothèse qu ? il existe a et b entiers naturels non nuls tels que ? a b et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction Étant donnés un entier naturel non nul n et un réel x on pose Pn x xn a ?? bx n n Étant donné Un entier naturel n on pose et P x ? In Pn x dx CA P M E P a Pour un entier naturel n non nul exprimer la dérivée de Pn en fonction de Pn ?? b Calculer sup Pn x en fonction de a b et n x ?? ? c Démontrer que ??n ?? N d Démontrer que ??x ?? R Pn a b ??x Pn x ??n ?? N In ? e Après avoir justi ?é que la suite de terme général n a b n tend vers démontrer la convergence de la suite In n ??N et déterminer sa limite Pour tion tout entier P n Pn naturel k la dérivée d ? ordre k de Pn est notée P n k Par dé ?ni- En distinguant les trois cas suivants démontrer que Pn k et Pn k a b sont des entiers relatifs a k n ?? b n k n c k n Pour le cas b on pourra utiliser la relation entre Pn k et le coef ?cient de xk dans Pn