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Chapitre 1 15 Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI RAISONNER RÉDIGER On peut très bien comprendre une égalité d ? ensembles ou l ? équivalence de deux propositions en les lisant sans se sentir le moins du monde capable de les démontrer Je ne sais

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI RAISONNER RÉDIGER On peut très bien comprendre une égalité d ? ensembles ou l ? équivalence de deux propositions en les lisant sans se sentir le moins du monde capable de les démontrer Je ne sais pas par o? commencer ? Vous trouverez justement dans cette annexe de quoi commencer vos preuves entre autres choses Quel premier pas pour montrer une implication Quel premier pas pour montrer une inclusion Le premier pas est avant tout une a ?aire de bonne rédaction Tant qu ? on fait des mathématiques assez faciles la rédaction n ? a que des vertus esthétiques bien rédiger revient seulement à rédiger selon les canons de la correction et de l ? élégance Dès qu ? on touche à des raisonnements délicats au contraire bien rédiger c ? est essentiellement bien penser c ? est-à- dire penser avec méthode et rigueur Votre salut mathématique dépendra cette année en grande partie de votre capacité à intérioriser le contenu des paragraphes qui suivent et à en faire des ré exes Relisez régulièrement cette annexe au gré de vos lacunes et de vos besoins Et surtout Ma? trisez-vous chaque mot et chaque symbole vous engagent Facile à dire dif ?cile à faire Le génie est rarissime mais tout le monde peut s ? auto-discipliner progresser en mathématiques et y prendre du plaisir SOMMAIRE AXIOMES DÉFINITIONS THÉORÈMES INTRODUIRE UNE VARIABLE DONNER UN NOM À UN OBJET MONTRER UNE PROPOSITION UNIVERSELLE MONTRER L ? EXISTENCE D ? UN OBJET MONTRER L ? UNICITÉ D ? UN OBJET MONTRER UNE DISJONCTION UNE IMPLICATION OU UNE ÉQUIVALENCE MONTRER UNE INCLUSION OU UNE ÉGALITÉ D ? ENSEMBLES LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE RAISONNEMENT PAR L ? ABSURDE LE RAISONNEMENT PAR ANALYSE-SYNTHÈSE BIEN RÉDIGER AVEC LES FONCTIONS AXIOMES DÉFINITIONS THÉORÈMES ? Axiomes Dans une théorie formelle quelconque mathématique ou non on appelle axiomes les propositions que la théorie tient pour vraies sans justi ?cation comme points de départ Nous aurons très peu l ? occasion de rencontrer les axiomes sur lesquels les mathématiques sont traditionnellement fondés Dans notre démarche de fondement pourtant tout au long de l ? année nous aurons à c ?ur de démontrer presque tous les énoncés que nous manipulerons ?? mais pas tous nous ne remonterons pas en-deçà d ? un certain point Précisément nous admettrons l ? existence des nombres réels avec toutes les propriétés que nous leur connaissons alors que les mathématiques en réalité loin d ? accepter les réels sans discussion sont capables d ? en o ?rir une construction à partir d ? axiomes plus élémentaires ? Dé ?nitions On appelle dé ?nition toute manière d ? accorder un nom jusqu ? ici inusité à un objet véri ?ant une certaine propriété Une dé ?nition crée ainsi une classe d ? objets ?? les oiseaux par exemple ?? réunis autour d ? un certain nom ?? le mot oiseau ? ?? lequel résume une certaine propriété ?? animal à plumes ? Pourquoi