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Cours chap01 Document créé le octobre Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre Logique et ensembles Sommaire Rudiments de logique Propositions démonstrations etc Ensembles éléments Propriétés portant

Document créé le octobre Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre Logique et ensembles Sommaire Rudiments de logique Propositions démonstrations etc Ensembles éléments Propriétés portant sur les éléments d ? un ensemble Opérations sur les propositions Quanti ?cateurs Quelques synonymies classiques Conditions nécessaires et ou su ?santes Raisonnements classiques Conseils appuyés pour bien rédiger Quelques ?gures usuelles du raisonnement L ? axiome de récurrence Raisonnement par récurrence Raisonnement par analyse- synthèse Résolutions d ? équations ou d ? inéquations Équations ou inéquations à un paramètre Ensembles Opérations sur les ensembles Ensemble des parties d ? un ensemble Opérations sur les parties d ? un ensemble Produit cartésien d ? un nombre ?ni d ? ensembles Applications Applications entres ensembles non vides Famille indexée par un ensemble non vide Fonction indicatrice d ? une partie Restriction et prolongement Image directe d ? une partie par une application Image réciproque d ? une partie par une application Composition d ? applications Injections surjections bijections Applications injectives Applications surjectives Applications bijectives C Rudiments de logique Chapitre Logique et ensembles Relations binaires Généralités Propriétés éventuelles des relations binaires Relations d ? ordre Relations d ? équivalence classes d ? équivalence Congruence modulo un réel strictement positif Division euclidienne et congruence modulo un entier Rudiments de logique Propositions démonstrations etc Dé ?nition Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu ? il est vrai ? ou faux ? On notera V et F ou encore et les deux valeurs logiques possibles d ? une proposition Exemples ?? l ? entier est premier ? est une proposition vraie ?? l ? entier est premier ? est une proposition fausse ?? l ? entier est une somme de deux carrés ? est une proposition fausse prouvez-le ?? l ? entier est somme de deux carrés ? est une proposition vraie en e ?et Dé ?nition Certaines propositions sont déclarées vraies à priori ce sont les axiomes Sinon la véracité ou la fausseté d ? une proposition doit résulter d ? une démonstration d ? une preuve Remarque dans le cadre d ? un cours de mathématiques quand on énonce une proposition c ? est pour a ?rmer qu ? elle est vraie et qu ? on va la démontrer Dé ?nition Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante Un lemme est une proposition vraie utile à la démonstration d ? une proposition plus importante Un corollaire est une proposition vraie conséquence immédiate d ? une autre proposition vraie Une conjecture est une proposition qu ? on pense généralement vraie sans en avoir de preuve Exemples ?? l ? axiome de récurrence ? dans N l ? axiome de la borne supérieure ? dans R ?? le théorème de Pythagore ? le théorème de Rolle ? le théorème de Bolzano-Weierstrass ? ?? le lemme des bergers ? le lemme de Gauss ? le lemme des noyaux ? ?? la conjecture de Syracuse ?