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Les mathematiques chez platon

Qu'est-ce qu'être platonicien en mathématiques La raison pour laquelle on a pris à partir d'un certain moment l'habitude d'appeler platonisme mathématique la conception philosophique qui attribue aux objets mathématiques une existence indépendante de nos activités de pensée et de connaissance est à première vue su ?samment claire On peut citer par exemple à ce sujet ce que dit Abraham Fraenkel dans un article paru en dans la revue L'Enseignement mathématique La di ?érence de vues qui existe entre PLATON et ARISTOTE au sujet de l'existence des êtres mathématiques pourrait caractériser à elle seule l'essentiel de ce que nous avons à dire Pour PLATON le monde des mathématiques est un monde indépendant portant en lui-même ses propres lois et supérieur au physique dans sa façon d'être L'existence des êtres mathématiques est de ce fait indépendante de la pensée humaine comme en général de toute activité extérieure Pour ARISTOTE au contraire il n'y a pas de monde mathématique en soi si l'on en parle c'est en tant qu'idées abstraites del'activité humaine à savoir des constructions des mathématiciens créateurs Pour cette raison aussi ARISTOTE considère les constructions mathématiques comme conduisant seules à une vraie épistémè mais la projection abstraite de ces constructions sur un monde en soi en vérité irréel ne serait qu'une doxa Note Pour son interprétation des idées antiques dont je ne discuterai pas ici la pertinence Fraenkel indique qu'il s'est inspiré principalement des idées de Heinrich Scholz et notamment de celles qui sont développées dans le mémoire de Die Axiomatik der Alten Note Fraenkel suggère également que l'opposition qui existe entre Leibniz et Kant est voisine de celle qui existe entre Platon et Aristote LEIBNIZ écrit-il souligne la possibilité d'une mathematica universalis en tant que science mathématique symbolique et formelle qui dépasse tout ce qui est à la portée des constructions et intuitions humaines Pour KANT au contraire non seulement la géométrie mais même l'arithmétique sont liées aux formes de l'intuition humaine espace et temps la notion du nombre notamment dépend d'après lui essentiellement de la catégorie du temps ibid p On peut remarquer que cela revient déjà à introduire une ambigu? té assez regrettable Si par platonisme mathématique on entend comme on le fait habituellement aujourd'hui le réalisme mathématique Leibniz est certainement le contraire d'un platonicien en mathématiques Son attitude est en fait bien plus proche du nominalisme Il ne croit pas à la réalité indépendante de choses comme l'espace les entités géométriques ou les nombres ni d'ailleurs non plus à celle des abstracta en général dont il pense que nous devrions chercher dans toute la mesure du possible à les éliminer Je reconnais écrit-il que le temps l'étendue le mouvement et le continu en général de la manière qu'on les prend en mathématiques ne sont que des choses idéales c'est-à-dire qui expriment les possibilités tout comme font les nombres Note Pour Leibniz le temps l'espace et les nombres ne sont pas des réalités supplémentaires ils constituent simplement des systèmes de possibilités auxquels sont subordonnées non seulement les choses